Страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.24. Составьте несколько систем уравнений с двумя неизвестными, не имеющих решения.

Система уравнений с двумя неизвестными не имеет решений, если уравнения, входящие в систему, противоречат друг другу. Для систем линейных уравнений это означает, что графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают, то есть у них нет общих точек.

Общий вид системы двух линейных уравнений с неизвестными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

Такая система не имеет решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Это условие гарантирует, что угловые коэффициенты прямых равны (прямые параллельны), но сдвиги по оси ординат различны (прямые не совпадают).

Ниже приведены несколько примеров таких систем, составленных на основе этого принципа.

Пример 1

Составим простейшую систему, где левые части уравнений идентичны, а правые — различны.

$ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ x + 2y = 6 \end{cases} $

Эта система не может иметь решений, так как одно и то же выражение $x + 2y$ не может одновременно принимать два разных значения (4 и 6). Если попытаться решить ее, например, вычитанием первого уравнения из второго, мы получим неверное равенство: $(x + 2y) - (x + 2y) = 6 - 4$, что приводит к $0 = 2$.

Ответ: $ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ x + 2y = 6 \end{cases} $

Пример 2

Создадим систему, в которой второе уравнение имеет коэффициенты, пропорциональные коэффициентам первого, но свободный член не подчиняется этой пропорции. Возьмем первое уравнение $3x - y = 5$ и умножим его левую часть на 2.

$ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $

Чтобы проверить, что решений нет, умножим первое уравнение на 2. Получим систему:

$ \begin{cases} 6x - 2y = 10 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $

Снова получили противоречие: $10 = 1$. Следовательно, система не имеет решений. Проверка по формуле: $\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{5}{1}$, то есть $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq 5$. Условие выполняется.

Ответ: $ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $

Пример 3

Рассмотрим систему, где одно из уравнений выражено в виде функции $y = kx + b$.

$ \begin{cases} y = -4x + 3 \\ 2y + 8x = 8 \end{cases} $

Используем метод подстановки: подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе.

$ 2(-4x + 3) + 8x = 8 $

$ -8x + 6 + 8x = 8 $

$ 6 = 8 $

Полученное неверное числовое равенство означает, что у системы нет решений. Графиками являются две параллельные прямые: $y = -4x + 3$ и $y = -4x + 4$ (второе уравнение после преобразования $2y = -8x+8$).

Ответ: $ \begin{cases} y = -4x + 3 \\ 2y + 8x = 8 \end{cases} $

0.25. Дана система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 7, \\ ax + 2y = c. \end{cases}$$

Подберите такие значения $a$ и $c$, чтобы система уравнений:

1) имела одно решение;

2) имела бесконечное множество решений.

Рассмотрим данную систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 7, \\ ax + 2y = c. \end{cases} $$ Для анализа количества решений системы можно использовать метод подстановки. Выразим переменную y из первого уравнения и подставим во второе.

Из первого уравнения получаем: $y = 7 - x$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы: $ax + 2(7 - x) = c$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы выделить переменную x: $ax + 14 - 2x = c$ $ax - 2x = c - 14$ $(a - 2)x = c - 14$

Получилось линейное уравнение относительно переменной x. Количество решений исходной системы зависит от того, сколько решений имеет это уравнение.

1) имела одно решение

Система уравнений будет иметь одно-единственное решение в том случае, если уравнение $(a - 2)x = c - 14$ имеет ровно одно решение для x. Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной x не равен нулю.

Математически это условие записывается так: $a - 2 \neq 0$, что эквивалентно $a \neq 2$.

Если это условие выполнено, мы можем найти уникальное значение x по формуле $x = \frac{c - 14}{a - 2}$. После этого можно найти и единственное значение y: $y = 7 - x$. При этом параметр c может принимать любое действительное значение.

Таким образом, для того чтобы система имела одно решение, нужно выбрать любое значение a, не равное 2, и любое значение c.

Ответ: система имеет одно решение при $a \neq 2$ и любом значении c. Например, можно взять $a = 1$ и $c = 1$.

2) имела бесконечное множество решений

Система будет иметь бесконечное множество решений, если уравнение $(a - 2)x = c - 14$ имеет бесконечное множество решений. Такое возможно только в том случае, когда уравнение представляет собой тождество $0 \cdot x = 0$.

Для этого необходимо, чтобы и коэффициент при x, и правая часть уравнения одновременно были равны нулю:
1. Коэффициент при x равен нулю: $a - 2 = 0 \implies a = 2$.
2. Свободный член (правая часть) равен нулю: $c - 14 = 0 \implies c = 14$.

Следовательно, оба условия должны выполняться одновременно. Если $a = 2$ и $c = 14$, то второе уравнение системы ($2x + 2y = 14$) становится эквивалентным первому ($x + y = 7$), так как его можно получить, умножив первое уравнение на 2. В этом случае оба уравнения описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости, и любая точка этой прямой является решением системы.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений при $a=2$ и $c=14$.

0.26. В задаче 25 подберите значения $a$ и $c$ так, чтобы данная система уравнений не имела решений.

В условии задачи 0.26 требуется подобрать значения параметров a и c для системы уравнений из задачи 0.25 так, чтобы система не имела решений. Поскольку сама система из задачи 0.25 не приведена, рассмотрим общий подход и решим задачу на конкретном примере.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными x и y имеет вид:

$\begin{cases}A_1x + B_1y = C_1 \\A_2x + B_2y = C_2\end{cases}$

Такая система не имеет решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены этой пропорции не удовлетворяют. Геометрически это означает, что уравнения описывают две параллельные, но не совпадающие прямые.

Условие отсутствия решений в общем виде записывается так:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

Предположим, что в задаче 0.25 была дана следующая система, где a и c — искомые параметры:

$\begin{cases}3x - 2y = 4 \\ax + 4y = c\end{cases}$

В этой системе: $A_1 = 3$, $B_1 = -2$, $C_1 = 4$ и $A_2 = a$, $B_2 = 4$, $C_2 = c$.

Применим условие отсутствия решений. Сначала найдем значение a из пропорции коэффициентов при переменных:

$ \frac{3}{a} = \frac{-2}{4} $

Упростим правую часть:

$ \frac{3}{a} = -\frac{1}{2} $

Отсюда находим a:

$ a = 3 \cdot (-2) = -6 $

Теперь используем вторую часть условия, чтобы найти ограничения на c:

$ \frac{-2}{4} \neq \frac{4}{c} $

$ -\frac{1}{2} \neq \frac{4}{c} $

Отсюда следует, что:

$ -1 \cdot c \neq 2 \cdot 4 $

$ -c \neq 8 $

$ c \neq -8 $

Таким образом, для того чтобы система не имела решений, необходимо, чтобы $a = -6$, а c было любым числом, кроме -8. Мы можем выбрать любое подходящее значение для c, например, $c = 1$.

Проверим. При $a = -6$ и $c = 1$ система принимает вид:

$\begin{cases}3x - 2y = 4 \\-6x + 4y = 1\end{cases}$

Умножим первое уравнение на -2:

$ -2 \cdot (3x - 2y) = -2 \cdot 4 $

$ -6x + 4y = -8 $

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases}-6x + 4y = -8 \\-6x + 4y = 1\end{cases}$

Мы получили противоречие: левые части уравнений равны, а правые — нет ($-8 \neq 1$). Это означает, что система действительно не имеет решений.

Ответ: $a = -6$, $c$ — любое число, не равное $-8$. Например, можно взять $a = -6$ и $c = 1$.

0.27. Для ремонта здания нанято несколько рабочих, которые могут выполнить эту работу в определенное число дней. Если их будет на 3 человека меньше, то срок работы увеличится на 6 дней. Если же их будет на 2 человека больше, то они смогут выполнить работу на 2 дня раньше срока. Сколько рабочих было нанято и в какой срок они смогут выполнить работу?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ – это первоначальное количество рабочих, а $y$ – запланированный срок выполнения работы в днях.

Общий объем работы, который необходимо выполнить, можно считать постоянной величиной. Он равен произведению количества рабочих на количество дней. Таким образом, объем работы составляет $W = x \cdot y$.

Рассмотрим первое условие, данное в задаче: "Если их будет на 3 человека меньше, то срок работы увеличится на 6 дней".При этом условии количество рабочих становится равным $x - 3$, а срок работы – $y + 6$. Объем работы остается тем же, поэтому мы можем составить первое уравнение:

$(x - 3)(y + 6) = xy$

Теперь рассмотрим второе условие: "Если же их будет на 2 человека больше, то они смогут выполнить работу на 2 дня раньше срока".В этом случае количество рабочих будет $x + 2$, а срок работы – $y - 2$. Объем работы не меняется, что позволяет нам составить второе уравнение:

$(x + 2)(y - 2) = xy$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$\begin{cases} (x - 3)(y + 6) = xy \\ (x + 2)(y - 2) = xy\end{cases}$

Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение:$xy + 6x - 3y - 18 = xy$Вычтем $xy$ из обеих частей:$6x - 3y - 18 = 0$Перенесем 18 в правую часть:$6x - 3y = 18$Разделим обе части уравнения на 3:$2x - y = 6$

Второе уравнение:$xy - 2x + 2y - 4 = xy$Вычтем $xy$ из обеих частей:$-2x + 2y - 4 = 0$Перенесем 4 в правую часть:$-2x + 2y = 4$Разделим обе части уравнения на 2:$-x + y = 2$

Теперь у нас есть более простая система линейных уравнений:$\begin{cases} 2x - y = 6 \\ -x + y = 2\end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:$(2x - y) + (-x + y) = 6 + 2$$2x - x - y + y = 8$$x = 8$

Мы нашли первоначальное количество рабочих. Теперь подставим значение $x = 8$ в любое из упрощенных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем второе уравнение $-x + y = 2$:$-8 + y = 2$$y = 2 + 8$$y = 10$

Таким образом, первоначально было нанято 8 рабочих, которые должны были выполнить работу за 10 дней.

Ответ: было нанято 8 рабочих, и они смогут выполнить работу за 10 дней.

0.28. Отцу и дочери вместе 62 года. Четыре года назад отец был в 8 раз старше дочери. Сколько лет каждому из них?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим текущий возраст отца как $о$, а текущий возраст дочери как $д$.

Из первого условия "Отцу и дочери вместе 62 года" следует первое уравнение:

$о + д = 62$

Четыре года назад возраст отца был $(о - 4)$ лет, а возраст дочери — $(д - 4)$ лет. Второе условие "Четыре года назад отец был в 8 раз старше дочери" дает нам второе уравнение:

$о - 4 = 8 \times (д - 4)$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} о + д = 62 \\ о - 4 = 8(д - 4) \end{cases}$

Выразим переменную $о$ из первого уравнения:

$о = 62 - д$

Теперь подставим это выражение для $о$ во второе уравнение системы:

$(62 - д) - 4 = 8(д - 4)$

Упростим и решим полученное уравнение относительно $д$:

$58 - д = 8д - 32$

Перенесем все члены с $д$ в правую часть, а числовые значения — в левую:

$58 + 32 = 8д + д$

$90 = 9д$

$д = \frac{90}{9}$

$д = 10$

Мы нашли, что дочери сейчас 10 лет. Теперь найдем возраст отца, подставив значение $д$ в первое уравнение:

$о = 62 - 10$

$о = 52$

Отцу сейчас 52 года.

Проверим результат. Сумма возрастов: $52 + 10 = 62$. Четыре года назад отцу было $52 - 4 = 48$ лет, а дочери $10 - 4 = 6$ лет. Проверим их соотношение: $48 \div 6 = 8$. Условия задачи выполнены.

Ответ: отцу 52 года, дочери 10 лет.

0.29. При каких значениях x дробь $\frac{3x - 4}{2}$:

1) больше 1;

2) меньше 1;

3) равна 1?

1) больше 1;

Чтобы найти значения x, при которых дробь $ \frac{3x - 4}{2} $ больше 1, решим соответствующее неравенство:
$ \frac{3x - 4}{2} > 1 $
Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$ 2 \cdot \frac{3x - 4}{2} > 1 \cdot 2 $
$ 3x - 4 > 2 $
Прибавим 4 к обеим частям неравенства:
$ 3x - 4 + 4 > 2 + 4 $
$ 3x > 6 $
Разделим обе части на 3:
$ \frac{3x}{3} > \frac{6}{3} $
$ x > 2 $
Дробь больше 1 при значениях x, принадлежащих интервалу $ (2; +\infty) $.
Ответ: $x > 2$.

2) меньше 1;

Чтобы найти значения x, при которых дробь $ \frac{3x - 4}{2} $ меньше 1, решим неравенство:
$ \frac{3x - 4}{2} < 1 $
Аналогично первому пункту, умножим обе части на 2:
$ 3x - 4 < 2 $
Прибавим 4 к обеим частям:
$ 3x < 2 + 4 $
$ 3x < 6 $
Разделим обе части на 3:
$ x < 2 $
Дробь меньше 1 при значениях x, принадлежащих интервалу $ (-\infty; 2) $.
Ответ: $x < 2$.

3) равна 1?

Чтобы найти значения x, при которых дробь $ \frac{3x - 4}{2} $ равна 1, решим уравнение:
$ \frac{3x - 4}{2} = 1 $
Умножим обе части уравнения на 2:
$ 3x - 4 = 2 $
Прибавим 4 к обеим частям:
$ 3x = 2 + 4 $
$ 3x = 6 $
Разделим обе части на 3:
$ x = \frac{6}{3} $
$ x = 2 $
Дробь равна 1 при $x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

0.30. Составьте систему неравенств, решения которой находятся на сторонах треугольника ABC и внутри него (рис. 0.1). Здесь A $(-3; -3)$, B $(0; 3)$ и C $(3; -1)$.

$ \begin{cases} 2x - y + 3 \ge 0 \\ 4x + 3y - 9 \le 0 \\ x - 3y - 6 \le 0 \end{cases} $

Рис. 0.1.

Для того чтобы составить систему неравенств, задающую треугольник ABC и его внутреннюю область, необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника, а затем определить знаки неравенств.

Общее уравнение прямой, проходящей через две точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, имеет вид:

$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

Так как решения должны включать и стороны треугольника, все неравенства будут нестрогими (со знаками $ \le $ или $ \ge $).

1. Уравнение прямой AB

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(−3; −3) и B(0; 3).

$ \frac{x - (-3)}{0 - (-3)} = \frac{y - (-3)}{3 - (-3)} $

$ \frac{x + 3}{3} = \frac{y + 3}{6} $

Умножим обе части на 6:

$ 2(x + 3) = y + 3 $

$ 2x + 6 = y + 3 $

$ 2x - y + 3 = 0 $

Чтобы определить знак неравенства, возьмем точку C(3; −1), которая лежит внутри нужной области относительно этой прямой. Подставим ее координаты в левую часть уравнения:

$ 2(3) - (-1) + 3 = 6 + 1 + 3 = 10 $

Поскольку $ 10 > 0 $, то для всех точек, лежащих по ту же сторону от прямой AB, что и точка C, выполняется неравенство $ 2x - y + 3 \ge 0 $.

2. Уравнение прямой BC

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки B(0; 3) и C(3; −1).

$ \frac{x - 0}{3 - 0} = \frac{y - 3}{-1 - 3} $

$ \frac{x}{3} = \frac{y - 3}{-4} $

Используем свойство пропорции:

$ -4x = 3(y - 3) $

$ -4x = 3y - 9 $

$ 4x + 3y - 9 = 0 $

Возьмем точку A(−3; −3) для проверки. Подставим ее координаты:

$ 4(-3) + 3(-3) - 9 = -12 - 9 - 9 = -30 $

Поскольку $ -30 < 0 $, то для всех точек, лежащих по ту же сторону от прямой BC, что и точка A, выполняется неравенство $ 4x + 3y - 9 \le 0 $.

3. Уравнение прямой AC

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(−3; −3) и C(3; −1).

$ \frac{x - (-3)}{3 - (-3)} = \frac{y - (-3)}{-1 - (-3)} $

$ \frac{x + 3}{6} = \frac{y + 3}{2} $

Умножим обе части на 6:

$ x + 3 = 3(y + 3) $

$ x + 3 = 3y + 9 $

$ x - 3y - 6 = 0 $

Возьмем точку B(0; 3) для проверки. Подставим ее координаты:

$ 0 - 3(3) - 6 = -9 - 6 = -15 $

Поскольку $ -15 < 0 $, то для всех точек, лежащих по ту же сторону от прямой AC, что и точка B, выполняется неравенство $ x - 3y - 6 \le 0 $.

Объединив все три неравенства, мы получим систему, решением которой является заштрихованная область.

Ответ:

$\begin{cases}2x - y + 3 \ge 0 \\4x + 3y - 9 \le 0 \\x - 3y - 6 \le 0\end{cases}$