Номер 0.30, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.30. Составьте систему неравенств, решения которой находятся на сторонах треугольника ABC и внутри него (рис. 0.1). Здесь A $(-3; -3)$, B $(0; 3)$ и C $(3; -1)$.

$ \begin{cases} 2x - y + 3 \ge 0 \\ 4x + 3y - 9 \le 0 \\ x - 3y - 6 \le 0 \end{cases} $

Рис. 0.1.

Для того чтобы составить систему неравенств, задающую треугольник ABC и его внутреннюю область, необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника, а затем определить знаки неравенств.

Общее уравнение прямой, проходящей через две точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, имеет вид:

$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

Так как решения должны включать и стороны треугольника, все неравенства будут нестрогими (со знаками $ \le $ или $ \ge $).

1. Уравнение прямой AB

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(−3; −3) и B(0; 3).

$ \frac{x - (-3)}{0 - (-3)} = \frac{y - (-3)}{3 - (-3)} $

$ \frac{x + 3}{3} = \frac{y + 3}{6} $

Умножим обе части на 6:

$ 2(x + 3) = y + 3 $

$ 2x + 6 = y + 3 $

$ 2x - y + 3 = 0 $

Чтобы определить знак неравенства, возьмем точку C(3; −1), которая лежит внутри нужной области относительно этой прямой. Подставим ее координаты в левую часть уравнения:

$ 2(3) - (-1) + 3 = 6 + 1 + 3 = 10 $

Поскольку $ 10 > 0 $, то для всех точек, лежащих по ту же сторону от прямой AB, что и точка C, выполняется неравенство $ 2x - y + 3 \ge 0 $.

2. Уравнение прямой BC

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки B(0; 3) и C(3; −1).

$ \frac{x - 0}{3 - 0} = \frac{y - 3}{-1 - 3} $

$ \frac{x}{3} = \frac{y - 3}{-4} $

Используем свойство пропорции:

$ -4x = 3(y - 3) $

$ -4x = 3y - 9 $

$ 4x + 3y - 9 = 0 $

Возьмем точку A(−3; −3) для проверки. Подставим ее координаты:

$ 4(-3) + 3(-3) - 9 = -12 - 9 - 9 = -30 $

Поскольку $ -30 < 0 $, то для всех точек, лежащих по ту же сторону от прямой BC, что и точка A, выполняется неравенство $ 4x + 3y - 9 \le 0 $.

3. Уравнение прямой AC

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(−3; −3) и C(3; −1).

$ \frac{x - (-3)}{3 - (-3)} = \frac{y - (-3)}{-1 - (-3)} $

$ \frac{x + 3}{6} = \frac{y + 3}{2} $

Умножим обе части на 6:

$ x + 3 = 3(y + 3) $

$ x + 3 = 3y + 9 $

$ x - 3y - 6 = 0 $

Возьмем точку B(0; 3) для проверки. Подставим ее координаты:

$ 0 - 3(3) - 6 = -9 - 6 = -15 $

Поскольку $ -15 < 0 $, то для всех точек, лежащих по ту же сторону от прямой AC, что и точка B, выполняется неравенство $ x - 3y - 6 \le 0 $.

Объединив все три неравенства, мы получим систему, решением которой является заштрихованная область.

Ответ:

$\begin{cases}2x - y + 3 \ge 0 \\4x + 3y - 9 \le 0 \\x - 3y - 6 \le 0\end{cases}$