Номер 0.23, страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.23. Решите систему уравнений относительно переменных x и y:

1) $ \begin{cases} px - qy = a \\ lx + my = b \end{cases} $

2) $ \begin{cases} bx + ay = ab \\ bx + 1 = a + y \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{2x+3}{3y-2} = 1 \\ x(2y - 5) - 2y(x + 3) = 2x + 1 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{x+1}{y+2} = 5 \\ 3(2x - 5) - 4(3y + 4) = 5 \end{cases} $

1)

Дана система линейных уравнений с параметрами:

$$ \begin{cases} px - qy = a \\ lx + my = b \end{cases} $$

Для решения системы используем метод сложения (метод исключения). Умножим первое уравнение на $m$, а второе на $q$, чтобы при сложении уравнений исключить переменную $y$:

$$ \begin{cases} m(px - qy) = ma \\ q(lx + my) = qb \end{cases} \implies \begin{cases} mpx - mqy = ma \\ qlx + qmy = qb \end{cases} $$

Сложим полученные уравнения:

$(mpx - mqy) + (qlx + qmy) = ma + qb$

$mpx + qlx = ma + qb$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(mp + ql) = ma + qb$

Отсюда, при условии что $mp + ql \neq 0$, находим $x$:

$x = \frac{ma + qb}{mp + ql}$

Теперь найдем $y$. Умножим первое уравнение исходной системы на $l$, а второе на $p$:

$$ \begin{cases} l(px - qy) = la \\ p(lx + my) = pb \end{cases} \implies \begin{cases} lpx - lqy = la \\ plx + pmy = pb \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $x$:

$(plx + pmy) - (lpx - lqy) = pb - la$

$pmy + lqy = pb - la$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(pm + lq) = pb - la$

Отсюда, при том же условии $pm + lq \neq 0$, находим $y$:

$y = \frac{pb - la}{pm + lq}$

Ответ: $x = \frac{am + bq}{pm + ql}, y = \frac{pb - al}{pm + ql}$ (при $pm + ql \neq 0$).

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} bx + ay = ab \\ bx + 1 = a + y \end{cases} $$

Приведем второе уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$:

$bx - y = a - 1$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} bx + ay = ab \\ bx - y = a - 1 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $x$:

$(bx + ay) - (bx - y) = ab - (a - 1)$

$ay + y = ab - a + 1$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(a + 1) = a(b-1) + 1$

При условии $a \neq -1$, находим $y$:

$y = \frac{ab - a + 1}{a + 1}$

Подставим найденное выражение для $y$ во второе упрощенное уравнение $bx = y + a - 1$:

$bx = \frac{ab - a + 1}{a + 1} + (a - 1)$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$bx = \frac{ab - a + 1 + (a - 1)(a + 1)}{a + 1}$

$bx = \frac{ab - a + 1 + a^2 - 1}{a + 1}$

$bx = \frac{ab - a + a^2}{a + 1}$

$bx = \frac{a(b - 1 + a)}{a + 1}$

При условии $b \neq 0$, находим $x$:

$x = \frac{a(a + b - 1)}{b(a + 1)}$

Ответ: $x = \frac{a(a + b - 1)}{b(a + 1)}, y = \frac{ab - a + 1}{a + 1}$ (при $a \neq -1, b \neq 0$).

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2x + 3}{3y - 2} = 1 \\ x(2y - 5) - 2y(x + 3) = 2x + 1 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение. Из первого уравнения следует, что знаменатель не может быть равен нулю: $3y - 2 \neq 0$, то есть $y \neq \frac{2}{3}$.

Преобразуем первое уравнение:

$2x + 3 = 1 \cdot (3y - 2)$

$2x + 3 = 3y - 2$

$2x - 3y = -5$

Преобразуем второе уравнение, раскрыв скобки:

$2xy - 5x - (2xy + 6y) = 2x + 1$

$2xy - 5x - 2xy - 6y = 2x + 1$

Члены $2xy$ и $-2xy$ взаимно уничтожаются:

$-5x - 6y = 2x + 1$

Соберем все переменные в левой части:

$-7x - 6y = 1$

Умножим на -1 для удобства: $7x + 6y = -1$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = -5 \\ 7x + 6y = -1 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$2(2x - 3y) = 2(-5) \implies 4x - 6y = -10$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(4x - 6y) + (7x + 6y) = -10 + (-1)$

$11x = -11$

$x = -1$

Подставим значение $x = -1$ в уравнение $2x - 3y = -5$:

$2(-1) - 3y = -5$

$-2 - 3y = -5$

$-3y = -3$

$y = 1$

Найденное значение $y=1$ удовлетворяет условию $y \neq \frac{2}{3}$.

Ответ: $x = -1, y = 1$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x + 1}{y + 2} = 5 \\ 3(2x - 5) - 4(3y + 4) = 5 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение. Из первого уравнения следует, что $y + 2 \neq 0$, то есть $y \neq -2$.

Преобразуем первое уравнение:

$x + 1 = 5(y + 2)$

$x + 1 = 5y + 10$

$x - 5y = 9$

Преобразуем второе уравнение, раскрыв скобки:

$6x - 15 - (12y + 16) = 5$

$6x - 15 - 12y - 16 = 5$

$6x - 12y - 31 = 5$

$6x - 12y = 36$

Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения:

$x - 2y = 6$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - 5y = 9 \\ x - 2y = 6 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $x$:

$(x - 5y) - (x - 2y) = 9 - 6$

$-5y + 2y = 3$

$-3y = 3$

$y = -1$

Найденное значение $y=-1$ удовлетворяет условию $y \neq -2$.

Подставим $y = -1$ в уравнение $x - 2y = 6$:

$x - 2(-1) = 6$

$x + 2 = 6$

$x = 4$

Ответ: $x = 4, y = -1$.