Номер 0.21, страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.21. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств с двумя переменными:

1) $\begin{cases} 5x - y \le 4 \\ 0.5x + y \le 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - y < 3 \\ 2x + y < 6 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x - 5y < -10 \\ x + y > 9 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 4x + 3y + 12 \ge 0 \\ 3y - x - 6 \ge 0 \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 5x - y \le 4 \\ 0,5x + y \le 0 \end{cases} $

Для того чтобы изобразить множество решений, необходимо для каждого неравенства построить граничную прямую и определить, какая из двух полуплоскостей является решением.

1. Первое неравенство: $5x - y \le 4$. Выразим $y$:
$-y \le -5x + 4$
$y \ge 5x - 4$
Граничная прямая: $y = 5x - 4$. Поскольку неравенство нестрогое ($ \ge $), прямая будет сплошной. Решением является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая саму прямую. Для построения прямой найдем две точки: если $x=0$, то $y=-4$; если $x=1$, то $y=1$.

2. Второе неравенство: $0,5x + y \le 0$. Выразим $y$:
$y \le -0,5x$
Граничная прямая: $y = -0,5x$. Прямая также сплошная, так как неравенство нестрогое ($ \le $). Решением является полуплоскость, расположенная ниже этой прямой, включая саму прямую. Точки для построения: (0, 0) и (2, -1).

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. На координатной плоскости это будет область, заключенная между двумя сплошными лучами, исходящими из точки их пересечения.

Ответ: Множество решений — это угловая область, ограниченная сверху сплошной прямой $y = -0,5x$ и снизу сплошной прямой $y = 5x - 4$, включая обе прямые.

2)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 2x - y < 3 \\ 2x + y < 6 \end{cases} $

1. Первое неравенство: $2x - y < 3$. Выразим $y$:
$-y < -2x + 3$
$y > 2x - 3$
Граничная прямая: $y = 2x - 3$. Неравенство строгое ($ > $), поэтому прямая будет пунктирной. Решением является полуплоскость выше этой прямой. Точки для построения: (0, -3) и (1.5, 0).

2. Второе неравенство: $2x + y < 6$. Выразим $y$:
$y < -2x + 6$
Граничная прямая: $y = -2x + 6$. Прямая также пунктирная из-за строгого неравенства ($ < $). Решением является полуплоскость ниже этой прямой. Точки для построения: (0, 6) и (3, 0).

Решением системы является пересечение этих двух открытых полуплоскостей (областей, не включающих свои границы).

Ответ: Множество решений — это открытая угловая область, расположенная между пунктирными прямыми $y = 2x - 3$ и $y = -2x + 6$.

3)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3x - 5y < -10 \\ x + y > 9 \end{cases} $

1. Первое неравенство: $3x - 5y < -10$. Выразим $y$:
$-5y < -3x - 10$
$5y > 3x + 10$
$y > \frac{3}{5}x + 2$
Граничная прямая: $y = \frac{3}{5}x + 2$. Прямая пунктирная ($ > $). Решением является полуплоскость выше прямой. Точки для построения: (0, 2) и (5, 5).

2. Второе неравенство: $x + y > 9$. Выразим $y$:
$y > -x + 9$
Граничная прямая: $y = -x + 9$. Прямая пунктирная ($ > $). Решением является полуплоскость выше прямой. Точки для построения: (0, 9) и (9, 0).

Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть множество точек, которые лежат одновременно выше обеих прямых.

Ответ: Множество решений — это открытая область, расположенная над ломаной линией, образованной частями пунктирных прямых $y = -x + 9$ (левее точки их пересечения) и $y = \frac{3}{5}x + 2$ (правее точки их пересечения).

4)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 4x + 3y + 12 \ge 0 \\ 3y - x - 6 \ge 0 \end{cases} $

1. Первое неравенство: $4x + 3y + 12 \ge 0$. Выразим $y$:
$3y \ge -4x - 12$
$y \ge -\frac{4}{3}x - 4$
Граничная прямая: $y = -\frac{4}{3}x - 4$. Прямая сплошная ($ \ge $). Решением является полуплоскость выше прямой, включая саму прямую. Точки для построения: (0, -4) и (-3, 0).

2. Второе неравенство: $3y - x - 6 \ge 0$. Выразим $y$:
$3y \ge x + 6$
$y \ge \frac{1}{3}x + 2$
Граничная прямая: $y = \frac{1}{3}x + 2$. Прямая сплошная ($ \ge $). Решением является полуплоскость выше прямой, включая саму прямую. Точки для построения: (0, 2) и (-6, 0).

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей — область, находящаяся одновременно выше обеих прямых.

Ответ: Множество решений — это замкнутая область, расположенная над ломаной линией, образованной частями сплошных прямых $y = -\frac{4}{3}x - 4$ и $y = \frac{1}{3}x + 2$.