Номер 0.15, страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.15. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $\frac{2x+2}{5} - \frac{x-1}{2} < 2$;

2) $\frac{x}{6} - \frac{x}{7} \ge 1$;

3) $\frac{5x}{11} - \frac{x+2}{4} \ge 3$;

4) $\frac{2x-5}{3} - 1 > 3-x$.

1) Чтобы решить неравенство $\frac{2x+2}{5} - \frac{x-1}{2} < 2$, избавимся от знаменателей. Для этого умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное, которое равно 10.
$10 \cdot \frac{2x+2}{5} - 10 \cdot \frac{x-1}{2} < 10 \cdot 2$
$2(2x+2) - 5(x-1) < 20$
Раскроем скобки:
$4x + 4 - 5x + 5 < 20$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x + 9 < 20$
Вычтем 9 из обеих частей неравенства:
$-x < 20 - 9$
$-x < 11$
Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x > -11$
Мы ищем наименьшее целое решение. Первое целое число, которое больше -11, это -10.
Ответ: -10

2) Решим неравенство $\frac{x}{6} - \frac{x}{7} \ge 1$. Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, который для 6 и 7 равен 42.
$42 \cdot \frac{x}{6} - 42 \cdot \frac{x}{7} \ge 42 \cdot 1$
$7x - 6x \ge 42$
Упростим левую часть:
$x \ge 42$
Неравенство является нестрогим, поэтому наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это само число 42.
Ответ: 42

3) Решим неравенство $\frac{5x}{11} - \frac{x+2}{4} \ge 3$. Наименьшее общее кратное знаменателей 11 и 4 равно 44. Умножим обе части неравенства на 44.
$44 \cdot \frac{5x}{11} - 44 \cdot \frac{x+2}{4} \ge 44 \cdot 3$
$4(5x) - 11(x+2) \ge 132$
Раскроем скобки (обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью):
$20x - 11x - 22 \ge 132$
Приведем подобные слагаемые:
$9x - 22 \ge 132$
Прибавим 22 к обеим частям:
$9x \ge 154$
Разделим обе части на 9:
$x \ge \frac{154}{9}$
Чтобы найти наименьшее целое решение, преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{154}{9} = 17\frac{1}{9}$.
Итак, $x \ge 17\frac{1}{9}$. Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству, — это 18.
Ответ: 18

4) Решим неравенство $\frac{2x-5}{3} - 1 > 3 - x$. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя.
$3 \cdot \frac{2x-5}{3} - 3 \cdot 1 > 3 \cdot (3 - x)$
$(2x-5) - 3 > 9 - 3x$
Упростим обе части неравенства:
$2x - 8 > 9 - 3x$
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя знаки при переносе:
$2x + 3x > 9 + 8$
$5x > 17$
Разделим обе части на 5:
$x > \frac{17}{5}$
Представим дробь в виде десятичного числа: $\frac{17}{5} = 3.4$.
Получаем $x > 3.4$. Наименьшее целое число, которое больше 3.4, — это 4.
Ответ: 4