Номер 0.13, страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.13. Решите уравнение:

1) $\frac{3x - 11}{4} - \frac{3 - 5x}{8} = \frac{x + 6}{2};$

2) $6 - \frac{3 - y}{2} = \frac{y - 1}{2} + \frac{y - 2}{3};$

3) $\frac{3}{4}x - \frac{25}{4} + \frac{4}{3}x = 0;$

4) $\frac{y - 3}{6} + y = \frac{2y - 1}{3} - \frac{4 - y}{2}.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{3x-11}{4} - \frac{3-5x}{8} = \frac{x+6}{2} $.

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на их наименьшее общее кратное. Для чисел 4, 8 и 2 наименьшее общее кратное равно 8.

$ 8 \cdot \frac{3x-11}{4} - 8 \cdot \frac{3-5x}{8} = 8 \cdot \frac{x+6}{2} $

После умножения и сокращения дробей получим:

$ 2(3x-11) - (3-5x) = 4(x+6) $

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее.

$ 6x - 22 - 3 + 5x = 4x + 24 $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (6x + 5x) + (-22 - 3) = 4x + 24 $

$ 11x - 25 = 4x + 24 $

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки при переносе:

$ 11x - 4x = 24 + 25 $

$ 7x = 49 $

Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{49}{7} $

$ x = 7 $

Ответ: 7

2)

Исходное уравнение: $ 6 - \frac{3-y}{2} = \frac{y-1}{2} + \frac{y-2}{3} $.

Наименьшее общее кратное для знаменателей 2 и 3 равно 6. Умножим каждый член уравнения на 6:

$ 6 \cdot 6 - 6 \cdot \frac{3-y}{2} = 6 \cdot \frac{y-1}{2} + 6 \cdot \frac{y-2}{3} $

$ 36 - 3(3-y) = 3(y-1) + 2(y-2) $

Раскроем скобки:

$ 36 - 9 + 3y = 3y - 3 + 2y - 4 $

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$ 27 + 3y = 5y - 7 $

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну сторону, а числа — в другую. Удобнее перенести $3y$ вправо, а $-7$ влево:

$ 27 + 7 = 5y - 3y $

$ 34 = 2y $

Найдем $y$, разделив обе части на 2:

$ y = \frac{34}{2} $

$ y = 17 $

Ответ: 17

3)

Исходное уравнение: $ \frac{3}{4}x - \frac{25}{4} + \frac{4}{3}x = 0 $.

Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$ \frac{3}{4}x + \frac{4}{3}x = \frac{25}{4} $

В левой части вынесем $x$ за скобки:

$ (\frac{3}{4} + \frac{4}{3})x = \frac{25}{4} $

Чтобы сложить дроби в скобках, приведем их к общему знаменателю 12:

$ (\frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12})x = \frac{25}{4} $

$ (\frac{9 + 16}{12})x = \frac{25}{4} $

$ \frac{25}{12}x = \frac{25}{4} $

Чтобы найти $x$, нужно правую часть разделить на коэффициент при $x$ (то есть умножить на обратную дробь):

$ x = \frac{25}{4} \div \frac{25}{12} = \frac{25}{4} \cdot \frac{12}{25} $

Сократим 25 в числителе и знаменателе, а также 12 и 4:

$ x = \frac{12}{4} = 3 $

Ответ: 3

4)

Исходное уравнение: $ \frac{y-3}{6} + y = \frac{2y-1}{3} - \frac{4-y}{2} $.

Наименьшее общее кратное для знаменателей 6, 3 и 2 равно 6. Умножим все члены уравнения на 6:

$ 6 \cdot \frac{y-3}{6} + 6 \cdot y = 6 \cdot \frac{2y-1}{3} - 6 \cdot \frac{4-y}{2} $

$ (y-3) + 6y = 2(2y-1) - 3(4-y) $

Раскроем скобки:

$ y - 3 + 6y = 4y - 2 - 12 + 3y $

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$ (y + 6y) - 3 = (4y + 3y) + (-2 - 12) $

$ 7y - 3 = 7y - 14 $

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 7y - 7y = -14 + 3 $

$ 0 \cdot y = -11 $

Мы получили равенство $0 = -11$, которое является ложным. Это означает, что не существует такого значения $y$, при котором равенство было бы верным.

Ответ: корней нет