Номер 0.14, страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.14. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $x+2 \ge 2.5x-1;$

2) $\frac{3x+2}{4} - \frac{x-3}{2} < 3;$

3) $\frac{x-2}{5} - \frac{2x+3}{3} > 1;$

4) $\frac{2x-8}{3} - \frac{3x-5}{2} \ge 4.$

1) Решим неравенство $x + 2 \ge 2,5x - 1$.
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть, а постоянные члены в другую:
$2 + 1 \ge 2,5x - x$
$3 \ge 1,5x$
Разделим обе части неравенства на 1,5:
$\frac{3}{1,5} \ge x$
$2 \ge x$, что эквивалентно $x \le 2$.
Множество решений неравенства — это все числа, которые меньше или равны 2. Наибольшим целым числом в этом множестве является 2.
Ответ: 2

2) Решим неравенство $\frac{3x + 2}{4} - \frac{x - 3}{2} < 3$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 4:
$4 \cdot \left(\frac{3x + 2}{4}\right) - 4 \cdot \left(\frac{x - 3}{2}\right) < 4 \cdot 3$
$(3x + 2) - 2(x - 3) < 12$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй дробью:
$3x + 2 - 2x + 6 < 12$
Приведем подобные слагаемые:
$x + 8 < 12$
Вычтем 8 из обеих частей:
$x < 12 - 8$
$x < 4$.
Наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $x < 4$, это 3.
Ответ: 3

3) Решим неравенство $\frac{x - 2}{5} - \frac{2x + 3}{3} > 1$.
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей 5 и 3, который равен 15:
$15 \cdot \left(\frac{x - 2}{5}\right) - 15 \cdot \left(\frac{2x + 3}{3}\right) > 15 \cdot 1$
$3(x - 2) - 5(2x + 3) > 15$
Раскроем скобки:
$3x - 6 - 10x - 15 > 15$
Приведем подобные слагаемые:
$-7x - 21 > 15$
Прибавим 21 к обеим частям:
$-7x > 15 + 21$
$-7x > 36$
Разделим обе части на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < -\frac{36}{7}$
$x < -5\frac{1}{7}$.
Наибольшим целым числом, которое меньше $-5\frac{1}{7}$, является -6.
Ответ: -6

4) Решим неравенство $\frac{2x - 8}{3} - \frac{3x - 5}{2} \ge 4$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 6:
$6 \cdot \left(\frac{2x - 8}{3}\right) - 6 \cdot \left(\frac{3x - 5}{2}\right) \ge 6 \cdot 4$
$2(2x - 8) - 3(3x - 5) \ge 24$
Раскроем скобки:
$4x - 16 - 9x + 15 \ge 24$
Приведем подобные слагаемые:
$-5x - 1 \ge 24$
Прибавим 1 к обеим частям:
$-5x \ge 24 + 1$
$-5x \ge 25$
Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le \frac{25}{-5}$
$x \le -5$.
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим условию $x \le -5$, является само число -5.
Ответ: -5