Номер 0.16, страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.16. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1 \\ 3x - 5y = -3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{4}x - y = -5 \\ \frac{1}{2}x - \frac{1}{7}y = 3 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x - 2y = \frac{1}{2} \\ 4y - x = \frac{2}{3} \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x - 3y = -1 \\ \frac{y}{x} = 0,75 \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1 \\ 3x - 5y = -3 \end{cases} $$ Чтобы избавиться от дробей в первом уравнении, умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:
$6 \cdot (\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y) = 6 \cdot 1$
$3x - 2y = 6$
Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ 3x - 5y = -3 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $x$:
$(3x - 2y) - (3x - 5y) = 6 - (-3)$
$3x - 2y - 3x + 5y = 6 + 3$
$3y = 9$
$y = \frac{9}{3} = 3$
Подставим найденное значение $y$ в любое из уравнений системы, например, в $3x - 2y = 6$:
$3x - 2(3) = 6$
$3x - 6 = 6$
$3x = 12$
$x = \frac{12}{3} = 4$
Проверим, подставив $x=4$ и $y=3$ во второе исходное уравнение: $3(4) - 5(3) = 12 - 15 = -3$. Верно.
Ответ: $x=4, y=3$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{4}x - y = -5 \\ \frac{1}{2}x - \frac{1}{7}y = 3 \end{cases} $$ Упростим оба уравнения, избавившись от дробей. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 14 (НОК для 2 и 7):
$4 \cdot (\frac{1}{4}x - y) = 4 \cdot (-5) \implies x - 4y = -20$
$14 \cdot (\frac{1}{2}x - \frac{1}{7}y) = 14 \cdot 3 \implies 7x - 2y = 42$
Получим систему: $$ \begin{cases} x - 4y = -20 \\ 7x - 2y = 42 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 4y - 20$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$7(4y - 20) - 2y = 42$
$28y - 140 - 2y = 42$
$26y = 182$
$y = \frac{182}{26} = 7$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 4y - 20$:
$x = 4(7) - 20 = 28 - 20 = 8$
Ответ: $x=8, y=7$.

3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 2y = \frac{1}{2} \\ 4y - x = \frac{2}{3} \end{cases} $$ Для удобства перепишем второе уравнение, поменяв местами слагаемые: $-x + 4y = \frac{2}{3}$.
Система примет вид: $$ \begin{cases} 3x - 2y = \frac{1}{2} \\ -x + 4y = \frac{2}{3} \end{cases} $$ Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot \frac{1}{2} \implies 6x - 4y = 1$
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(6x - 4y) + (-x + 4y) = 1 + \frac{2}{3}$
$5x = \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$
$5x = \frac{5}{3}$
$x = \frac{1}{3}$
Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение $4y - x = \frac{2}{3}$:
$4y - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$4y = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$
$4y = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{1}{4}$
Ответ: $x=\frac{1}{3}, y=\frac{1}{4}$.

4) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 3y = -1 \\ \frac{y}{x} = 0,75 \end{cases} $$ Сначала преобразуем второе уравнение. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
Таким образом, $\frac{y}{x} = \frac{3}{4}$.
Область допустимых значений: $x \neq 0$.
Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения:
$y = \frac{3}{4}x$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$2x - 3(\frac{3}{4}x) = -1$
$2x - \frac{9}{4}x = -1$
Приведем слагаемые с $x$ к общему знаменателю:
$\frac{8}{4}x - \frac{9}{4}x = -1$
$-\frac{1}{4}x = -1$
$x = (-1) \cdot (-4) = 4$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = \frac{3}{4}x$:
$y = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$
Ответ: $x=4, y=3$.