Страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.13. Решите уравнение:

1) $\frac{3x - 11}{4} - \frac{3 - 5x}{8} = \frac{x + 6}{2};$

2) $6 - \frac{3 - y}{2} = \frac{y - 1}{2} + \frac{y - 2}{3};$

3) $\frac{3}{4}x - \frac{25}{4} + \frac{4}{3}x = 0;$

4) $\frac{y - 3}{6} + y = \frac{2y - 1}{3} - \frac{4 - y}{2}.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{3x-11}{4} - \frac{3-5x}{8} = \frac{x+6}{2} $.

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на их наименьшее общее кратное. Для чисел 4, 8 и 2 наименьшее общее кратное равно 8.

$ 8 \cdot \frac{3x-11}{4} - 8 \cdot \frac{3-5x}{8} = 8 \cdot \frac{x+6}{2} $

После умножения и сокращения дробей получим:

$ 2(3x-11) - (3-5x) = 4(x+6) $

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее.

$ 6x - 22 - 3 + 5x = 4x + 24 $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (6x + 5x) + (-22 - 3) = 4x + 24 $

$ 11x - 25 = 4x + 24 $

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки при переносе:

$ 11x - 4x = 24 + 25 $

$ 7x = 49 $

Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{49}{7} $

$ x = 7 $

Ответ: 7

2)

Исходное уравнение: $ 6 - \frac{3-y}{2} = \frac{y-1}{2} + \frac{y-2}{3} $.

Наименьшее общее кратное для знаменателей 2 и 3 равно 6. Умножим каждый член уравнения на 6:

$ 6 \cdot 6 - 6 \cdot \frac{3-y}{2} = 6 \cdot \frac{y-1}{2} + 6 \cdot \frac{y-2}{3} $

$ 36 - 3(3-y) = 3(y-1) + 2(y-2) $

Раскроем скобки:

$ 36 - 9 + 3y = 3y - 3 + 2y - 4 $

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$ 27 + 3y = 5y - 7 $

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну сторону, а числа — в другую. Удобнее перенести $3y$ вправо, а $-7$ влево:

$ 27 + 7 = 5y - 3y $

$ 34 = 2y $

Найдем $y$, разделив обе части на 2:

$ y = \frac{34}{2} $

$ y = 17 $

Ответ: 17

3)

Исходное уравнение: $ \frac{3}{4}x - \frac{25}{4} + \frac{4}{3}x = 0 $.

Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$ \frac{3}{4}x + \frac{4}{3}x = \frac{25}{4} $

В левой части вынесем $x$ за скобки:

$ (\frac{3}{4} + \frac{4}{3})x = \frac{25}{4} $

Чтобы сложить дроби в скобках, приведем их к общему знаменателю 12:

$ (\frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12})x = \frac{25}{4} $

$ (\frac{9 + 16}{12})x = \frac{25}{4} $

$ \frac{25}{12}x = \frac{25}{4} $

Чтобы найти $x$, нужно правую часть разделить на коэффициент при $x$ (то есть умножить на обратную дробь):

$ x = \frac{25}{4} \div \frac{25}{12} = \frac{25}{4} \cdot \frac{12}{25} $

Сократим 25 в числителе и знаменателе, а также 12 и 4:

$ x = \frac{12}{4} = 3 $

Ответ: 3

4)

Исходное уравнение: $ \frac{y-3}{6} + y = \frac{2y-1}{3} - \frac{4-y}{2} $.

Наименьшее общее кратное для знаменателей 6, 3 и 2 равно 6. Умножим все члены уравнения на 6:

$ 6 \cdot \frac{y-3}{6} + 6 \cdot y = 6 \cdot \frac{2y-1}{3} - 6 \cdot \frac{4-y}{2} $

$ (y-3) + 6y = 2(2y-1) - 3(4-y) $

Раскроем скобки:

$ y - 3 + 6y = 4y - 2 - 12 + 3y $

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$ (y + 6y) - 3 = (4y + 3y) + (-2 - 12) $

$ 7y - 3 = 7y - 14 $

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 7y - 7y = -14 + 3 $

$ 0 \cdot y = -11 $

Мы получили равенство $0 = -11$, которое является ложным. Это означает, что не существует такого значения $y$, при котором равенство было бы верным.

Ответ: корней нет

0.14. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $x+2 \ge 2.5x-1;$

2) $\frac{3x+2}{4} - \frac{x-3}{2} < 3;$

3) $\frac{x-2}{5} - \frac{2x+3}{3} > 1;$

4) $\frac{2x-8}{3} - \frac{3x-5}{2} \ge 4.$

1) Решим неравенство $x + 2 \ge 2,5x - 1$.
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть, а постоянные члены в другую:
$2 + 1 \ge 2,5x - x$
$3 \ge 1,5x$
Разделим обе части неравенства на 1,5:
$\frac{3}{1,5} \ge x$
$2 \ge x$, что эквивалентно $x \le 2$.
Множество решений неравенства — это все числа, которые меньше или равны 2. Наибольшим целым числом в этом множестве является 2.
Ответ: 2

2) Решим неравенство $\frac{3x + 2}{4} - \frac{x - 3}{2} < 3$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 4:
$4 \cdot \left(\frac{3x + 2}{4}\right) - 4 \cdot \left(\frac{x - 3}{2}\right) < 4 \cdot 3$
$(3x + 2) - 2(x - 3) < 12$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй дробью:
$3x + 2 - 2x + 6 < 12$
Приведем подобные слагаемые:
$x + 8 < 12$
Вычтем 8 из обеих частей:
$x < 12 - 8$
$x < 4$.
Наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $x < 4$, это 3.
Ответ: 3

3) Решим неравенство $\frac{x - 2}{5} - \frac{2x + 3}{3} > 1$.
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей 5 и 3, который равен 15:
$15 \cdot \left(\frac{x - 2}{5}\right) - 15 \cdot \left(\frac{2x + 3}{3}\right) > 15 \cdot 1$
$3(x - 2) - 5(2x + 3) > 15$
Раскроем скобки:
$3x - 6 - 10x - 15 > 15$
Приведем подобные слагаемые:
$-7x - 21 > 15$
Прибавим 21 к обеим частям:
$-7x > 15 + 21$
$-7x > 36$
Разделим обе части на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < -\frac{36}{7}$
$x < -5\frac{1}{7}$.
Наибольшим целым числом, которое меньше $-5\frac{1}{7}$, является -6.
Ответ: -6

4) Решим неравенство $\frac{2x - 8}{3} - \frac{3x - 5}{2} \ge 4$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 6:
$6 \cdot \left(\frac{2x - 8}{3}\right) - 6 \cdot \left(\frac{3x - 5}{2}\right) \ge 6 \cdot 4$
$2(2x - 8) - 3(3x - 5) \ge 24$
Раскроем скобки:
$4x - 16 - 9x + 15 \ge 24$
Приведем подобные слагаемые:
$-5x - 1 \ge 24$
Прибавим 1 к обеим частям:
$-5x \ge 24 + 1$
$-5x \ge 25$
Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le \frac{25}{-5}$
$x \le -5$.
Наибольшим целым числом, удовлетворяющим условию $x \le -5$, является само число -5.
Ответ: -5

0.15. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $\frac{2x+2}{5} - \frac{x-1}{2} < 2$;

2) $\frac{x}{6} - \frac{x}{7} \ge 1$;

3) $\frac{5x}{11} - \frac{x+2}{4} \ge 3$;

4) $\frac{2x-5}{3} - 1 > 3-x$.

1) Чтобы решить неравенство $\frac{2x+2}{5} - \frac{x-1}{2} < 2$, избавимся от знаменателей. Для этого умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное, которое равно 10.
$10 \cdot \frac{2x+2}{5} - 10 \cdot \frac{x-1}{2} < 10 \cdot 2$
$2(2x+2) - 5(x-1) < 20$
Раскроем скобки:
$4x + 4 - 5x + 5 < 20$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x + 9 < 20$
Вычтем 9 из обеих частей неравенства:
$-x < 20 - 9$
$-x < 11$
Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x > -11$
Мы ищем наименьшее целое решение. Первое целое число, которое больше -11, это -10.
Ответ: -10

2) Решим неравенство $\frac{x}{6} - \frac{x}{7} \ge 1$. Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, который для 6 и 7 равен 42.
$42 \cdot \frac{x}{6} - 42 \cdot \frac{x}{7} \ge 42 \cdot 1$
$7x - 6x \ge 42$
Упростим левую часть:
$x \ge 42$
Неравенство является нестрогим, поэтому наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это само число 42.
Ответ: 42

3) Решим неравенство $\frac{5x}{11} - \frac{x+2}{4} \ge 3$. Наименьшее общее кратное знаменателей 11 и 4 равно 44. Умножим обе части неравенства на 44.
$44 \cdot \frac{5x}{11} - 44 \cdot \frac{x+2}{4} \ge 44 \cdot 3$
$4(5x) - 11(x+2) \ge 132$
Раскроем скобки (обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью):
$20x - 11x - 22 \ge 132$
Приведем подобные слагаемые:
$9x - 22 \ge 132$
Прибавим 22 к обеим частям:
$9x \ge 154$
Разделим обе части на 9:
$x \ge \frac{154}{9}$
Чтобы найти наименьшее целое решение, преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{154}{9} = 17\frac{1}{9}$.
Итак, $x \ge 17\frac{1}{9}$. Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству, — это 18.
Ответ: 18

4) Решим неравенство $\frac{2x-5}{3} - 1 > 3 - x$. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя.
$3 \cdot \frac{2x-5}{3} - 3 \cdot 1 > 3 \cdot (3 - x)$
$(2x-5) - 3 > 9 - 3x$
Упростим обе части неравенства:
$2x - 8 > 9 - 3x$
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя знаки при переносе:
$2x + 3x > 9 + 8$
$5x > 17$
Разделим обе части на 5:
$x > \frac{17}{5}$
Представим дробь в виде десятичного числа: $\frac{17}{5} = 3.4$.
Получаем $x > 3.4$. Наименьшее целое число, которое больше 3.4, — это 4.
Ответ: 4

0.16. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1 \\ 3x - 5y = -3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{4}x - y = -5 \\ \frac{1}{2}x - \frac{1}{7}y = 3 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x - 2y = \frac{1}{2} \\ 4y - x = \frac{2}{3} \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x - 3y = -1 \\ \frac{y}{x} = 0,75 \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1 \\ 3x - 5y = -3 \end{cases} $$ Чтобы избавиться от дробей в первом уравнении, умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:
$6 \cdot (\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y) = 6 \cdot 1$
$3x - 2y = 6$
Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ 3x - 5y = -3 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $x$:
$(3x - 2y) - (3x - 5y) = 6 - (-3)$
$3x - 2y - 3x + 5y = 6 + 3$
$3y = 9$
$y = \frac{9}{3} = 3$
Подставим найденное значение $y$ в любое из уравнений системы, например, в $3x - 2y = 6$:
$3x - 2(3) = 6$
$3x - 6 = 6$
$3x = 12$
$x = \frac{12}{3} = 4$
Проверим, подставив $x=4$ и $y=3$ во второе исходное уравнение: $3(4) - 5(3) = 12 - 15 = -3$. Верно.
Ответ: $x=4, y=3$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{4}x - y = -5 \\ \frac{1}{2}x - \frac{1}{7}y = 3 \end{cases} $$ Упростим оба уравнения, избавившись от дробей. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 14 (НОК для 2 и 7):
$4 \cdot (\frac{1}{4}x - y) = 4 \cdot (-5) \implies x - 4y = -20$
$14 \cdot (\frac{1}{2}x - \frac{1}{7}y) = 14 \cdot 3 \implies 7x - 2y = 42$
Получим систему: $$ \begin{cases} x - 4y = -20 \\ 7x - 2y = 42 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 4y - 20$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$7(4y - 20) - 2y = 42$
$28y - 140 - 2y = 42$
$26y = 182$
$y = \frac{182}{26} = 7$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 4y - 20$:
$x = 4(7) - 20 = 28 - 20 = 8$
Ответ: $x=8, y=7$.

3) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 2y = \frac{1}{2} \\ 4y - x = \frac{2}{3} \end{cases} $$ Для удобства перепишем второе уравнение, поменяв местами слагаемые: $-x + 4y = \frac{2}{3}$.
Система примет вид: $$ \begin{cases} 3x - 2y = \frac{1}{2} \\ -x + 4y = \frac{2}{3} \end{cases} $$ Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot \frac{1}{2} \implies 6x - 4y = 1$
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(6x - 4y) + (-x + 4y) = 1 + \frac{2}{3}$
$5x = \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$
$5x = \frac{5}{3}$
$x = \frac{1}{3}$
Подставим найденное значение $x$ во второе исходное уравнение $4y - x = \frac{2}{3}$:
$4y - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$4y = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$
$4y = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{1}{4}$
Ответ: $x=\frac{1}{3}, y=\frac{1}{4}$.

4) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 3y = -1 \\ \frac{y}{x} = 0,75 \end{cases} $$ Сначала преобразуем второе уравнение. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
Таким образом, $\frac{y}{x} = \frac{3}{4}$.
Область допустимых значений: $x \neq 0$.
Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения:
$y = \frac{3}{4}x$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$2x - 3(\frac{3}{4}x) = -1$
$2x - \frac{9}{4}x = -1$
Приведем слагаемые с $x$ к общему знаменателю:
$\frac{8}{4}x - \frac{9}{4}x = -1$
$-\frac{1}{4}x = -1$
$x = (-1) \cdot (-4) = 4$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = \frac{3}{4}x$:
$y = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$
Ответ: $x=4, y=3$.

0.17. Вычислите:

1) $(\frac{1}{2} + 0.125 - \frac{1}{6}) \cdot (6.4 : \frac{80}{3}) + \frac{1}{8};$

2) $\left[ \frac{3\frac{1}{3} + 2.5}{2.5 - 1\frac{1}{3}} \cdot \frac{4.6 - 2\frac{1}{3}}{4.6 + 2\frac{1}{3}} \right] \cdot 5.2 : \left[ \frac{0.05}{\frac{1}{7} - 0.125} + 5.7 \right];$

3) $\frac{(13\frac{1}{4} - 2\frac{5}{27} - 10\frac{5}{6}) \cdot 230.04 + 46.75}{0.01}.$

1)

Вычислим значение выражения $(\frac{1}{2} + 0,125 - \frac{1}{6}) \cdot (6,4 : \frac{80}{3}) + \frac{1}{8}$ по действиям.

1. Сначала выполним действия в первой скобке. Для удобства переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 24:

$\frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{12}{24} + \frac{3}{24} - \frac{4}{24} = \frac{15-4}{24} = \frac{11}{24}$

2. Теперь выполним действия во второй скобке. Переведем $6,4$ в обыкновенную дробь: $6,4 = \frac{64}{10} = \frac{32}{5}$.

$6,4 : \frac{80}{3} = \frac{32}{5} : \frac{80}{3} = \frac{32}{5} \cdot \frac{3}{80} = \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 80} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{6}{25}$

3. Умножим результаты, полученные в первых двух действиях.

$\frac{11}{24} \cdot \frac{6}{25} = \frac{11 \cdot 6}{24 \cdot 25} = \frac{11 \cdot 1}{4 \cdot 25} = \frac{11}{100}$

4. К полученному результату прибавим $\frac{1}{8}$.

$\frac{11}{100} + \frac{1}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю 200:

$\frac{11 \cdot 2}{100 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 25}{8 \cdot 25} = \frac{22}{200} + \frac{25}{200} = \frac{47}{200}$

Можно представить ответ в виде десятичной дроби: $\frac{47}{200} = 0,235$.

Ответ: $\frac{47}{200}$ или $0,235$.

2)

Вычислим значение выражения $(\frac{3\frac{1}{3} + 2,5}{2,5 - 1\frac{1}{3}} \cdot \frac{4,6 - 2\frac{1}{3}}{4,6 + 2\frac{1}{3}}) \cdot 5,2 : (\frac{0,05}{\frac{1}{7} - 0,125} + 5,7)$ по действиям. Для удобства вычислений преобразуем все десятичные и смешанные числа в обыкновенные дроби.

$3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$; $2,5=\frac{5}{2}$; $1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$; $4,6=\frac{23}{5}$; $2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$; $5,2=\frac{26}{5}$; $0,05=\frac{1}{20}$; $0,125=\frac{1}{8}$; $5,7=\frac{57}{10}$.

1. Вычислим первую большую дробь:

$\frac{3\frac{1}{3} + 2,5}{2,5 - 1\frac{1}{3}} = \frac{\frac{10}{3} + \frac{5}{2}}{\frac{5}{2} - \frac{4}{3}} = \frac{\frac{20+15}{6}}{\frac{15-8}{6}} = \frac{\frac{35}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{35}{6} \cdot \frac{6}{7} = 5$

2. Вычислим вторую большую дробь:

$\frac{4,6 - 2\frac{1}{3}}{4,6 + 2\frac{1}{3}} = \frac{\frac{23}{5} - \frac{7}{3}}{\frac{23}{5} + \frac{7}{3}} = \frac{\frac{69-35}{15}}{\frac{69+35}{15}} = \frac{\frac{34}{15}}{\frac{104}{15}} = \frac{34}{104} = \frac{17}{52}$

3. Выполним умножение результатов первых двух действий:

$5 \cdot \frac{17}{52} = \frac{85}{52}$

4. Выполним действия в последней большой скобке. Сначала знаменатель дроби:

$\frac{1}{7} - 0,125 = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{8-7}{56} = \frac{1}{56}$

Теперь вся дробь и сложение:

$\frac{0,05}{\frac{1}{56}} + 5,7 = \frac{\frac{1}{20}}{\frac{1}{56}} + \frac{57}{10} = \frac{56}{20} + \frac{57}{10} = \frac{14}{5} + \frac{57}{10} = \frac{28}{10} + \frac{57}{10} = \frac{85}{10} = \frac{17}{2}$

5. Объединим все части примера. Выражение принимает вид:

$(\frac{85}{52}) \cdot 5,2 : (\frac{17}{2}) = \frac{85}{52} \cdot \frac{26}{5} : \frac{17}{2} = \frac{85 \cdot 26}{52 \cdot 5} \cdot \frac{2}{17} = \frac{17 \cdot 1}{2 \cdot 1} \cdot \frac{2}{17} = \frac{17}{2} \cdot \frac{2}{17} = 1$

Ответ: $1$.

3)

Вычислим значение выражения $\frac{(13\frac{1}{4} - 2\frac{5}{27} - 10\frac{5}{6}) \cdot 230,04 + 46,75}{0,01}$ по действиям.

1. Вычислим значение в скобках в числителе:

$13\frac{1}{4} - 2\frac{5}{27} - 10\frac{5}{6}$

Сначала вычтем целые части: $13 - 2 - 10 = 1$.

Теперь разберемся с дробными частями: $\frac{1}{4} - \frac{5}{27} - \frac{5}{6}$.

Общий знаменатель для 4, 27 и 6 равен 108.

$\frac{1 \cdot 27}{4 \cdot 27} - \frac{5 \cdot 4}{27 \cdot 4} - \frac{5 \cdot 18}{6 \cdot 18} = \frac{27}{108} - \frac{20}{108} - \frac{90}{108} = \frac{7 - 90}{108} = -\frac{83}{108}$

Соединяем целую и дробную части: $1 - \frac{83}{108} = \frac{108 - 83}{108} = \frac{25}{108}$.

2. Умножим результат на $230,04$.

$\frac{25}{108} \cdot 230,04 = \frac{25}{108} \cdot \frac{23004}{100} = \frac{1}{108} \cdot \frac{23004}{4} = \frac{5751}{108}$

Заметим, что $230,04 / 108 = 2,13$. Тогда:

$25 \cdot 2,13 = 53,25$.

3. Прибавим $46,75$ к полученному результату, чтобы найти значение всего числителя.

$53,25 + 46,75 = 100$.

4. Разделим числитель на знаменатель $0,01$.

$\frac{100}{0,01} = 100 \cdot 100 = 10000$.

Ответ: $10000$.