Страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1) Как определяется сумма, разность, произведение и частное целых чисел?

Сумма

Определение суммы целых чисел зависит от их знаков:

• Сумма чисел с одинаковыми знаками. Чтобы сложить два целых числа с одинаковыми знаками (оба положительные или оба отрицательные), нужно сложить их модули (абсолютные величины) и поставить перед результатом их общий знак.

  Пример: $7 + 4 = 11$

  Пример: $(-7) + (-4) = -(7+4) = -11$

• Сумма чисел с разными знаками. Чтобы сложить два целых числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед результатом знак того числа, у которого модуль больше.

  Пример: $(-9) + 5$. Модули чисел: $|-9| = 9$ и $|5| = 5$. Так как $9 > 5$, знак результата будет минус. $-(9-5) = -4$.

  Пример: $9 + (-5)$. Так как $9 > 5$, знак результата будет плюс. $+(9-5) = 4$.

• Сумма с нулем. Сумма любого целого числа и нуля равна самому этому числу: $a + 0 = a$.

Ответ: Сумма целых чисел определяется правилами сложения или вычитания их модулей в зависимости от знаков слагаемых, с последующим присвоением знака результату.

Разность

Вычитание одного целого числа из другого определяется как операция, обратная сложению. Чтобы найти разность двух целых чисел, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Формула: $a - b = a + (-b)$

После этого преобразования применяются правила сложения целых чисел.

• Пример: $10 - 4 = 10 + (-4) = 6$

• Пример: $10 - (-4) = 10 + 4 = 14$

• Пример: $(-10) - 4 = (-10) + (-4) = -14$

• Пример: $(-10) - (-4) = (-10) + 4 = -6$

Ответ: Разность двух целых чисел определяется как сумма уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому.

Произведение

Чтобы найти произведение двух целых чисел, нужно перемножить их модули, а знак результата определить по следующим правилам:

• Произведение чисел с одинаковыми знаками. Если у чисел одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), результат будет положительным.

  Пример: $6 \cdot 3 = 18$

  Пример: $(-6) \cdot (-3) = 18$

• Произведение чисел с разными знаками. Если у чисел разные знаки, результат будет отрицательным.

  Пример: $(-6) \cdot 3 = -18$

  Пример: $6 \cdot (-3) = -18$

• Произведение на ноль. Произведение любого целого числа на ноль равно нулю: $a \cdot 0 = 0$.

Ответ: Произведение целых чисел определяется путем умножения их модулей, а знак результата является положительным, если знаки сомножителей совпадают, и отрицательным, если они различны.

Частное

Деление целых чисел (нацело) является операцией, обратной умножению. Чтобы найти частное двух целых чисел, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя. Знак результата определяется по правилам, аналогичным правилам для произведения:

• Частное чисел с одинаковыми знаками. Если у делимого и делителя одинаковые знаки, результат будет положительным.

  Пример: $21 \div 7 = 3$

  Пример: $(-21) \div (-7) = 3$

• Частное чисел с разными знаками. Если у делимого и делителя разные знаки, результат будет отрицательным.

  Пример: $(-21) \div 7 = -3$

  Пример: $21 \div (-7) = -3$

• Деление нуля. Частное от деления нуля на любое ненулевое целое число равно нулю: $0 \div a = 0$ (при $a \neq 0$).

• Деление на ноль. Делить на ноль нельзя. Эта операция не определена.

Важно отметить, что операция деления не всегда выполнима в множестве целых чисел (например, $7 \div 3$ не дает в результате целое число).

Ответ: Частное целых чисел (при делении нацело) определяется путем деления их модулей, а знак результата является положительным, если знаки делимого и делителя совпадают, и отрицательным, если они различны. Деление на ноль не определено.

2) Что такое обыкновенная дробь?

2) Обыкновенная дробь (или простая дробь) — это способ представления числа в виде отношения (частного) двух целых чисел, $\frac{m}{n}$ или $m/n$. Она выражает одну или несколько равных долей целого.

Число, которое находится над дробной чертой, называется числитель (в записи $\frac{m}{n}$ это $m$). Он показывает, сколько равных долей целого было взято.
Число, которое находится под дробной чертой, называется знаменатель (в записи $\frac{m}{n}$ это $n$). Он показывает, на сколько равных долей было разделено целое. Важно, что знаменатель не может быть равен нулю ($n \neq 0$).
Сама линия между числителем и знаменателем называется дробной чертой и является знаком деления.

Например, дробь $\frac{3}{8}$ означает, что нечто целое (скажем, пиццу) разделили на 8 равных частей и взяли 3 из этих частей.

Различают следующие виды обыкновенных дробей:
Правильные дроби — те, у которых числитель меньше знаменателя, например, $\frac{2}{5}$. Их значение всегда меньше 1.
Неправильные дроби — те, у которых числитель больше или равен знаменателю, например, $\frac{11}{6}$ или $\frac{7}{7}$. Их значение больше или равно 1.
Смешанные числа — это числа, записанные в виде целой части и правильной дроби, например, $1\frac{5}{6}$. Они являются другой формой записи неправильных дробей ($1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$).

Ответ: Обыкновенная дробь — это запись числа в виде частного двух целых чисел $\frac{m}{n}$ (где $n \neq 0$), в которой числитель $m$ показывает, сколько долей целого взято, а знаменатель $n$ показывает, на сколько равных долей это целое разделено.

3) Как определяется сумма, разность, произведение и частное обыкновенных дробей?

Сумма

Для определения суммы обыкновенных дробей необходимо рассмотреть два случая.
1. Если у дробей одинаковые знаменатели, то их сумма равна дроби, числитель которой есть сумма числителей исходных дробей, а знаменатель остается тем же.
Формула: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$.
2. Если у дробей разные знаменатели, то их сначала нужно привести к общему знаменателю. Для этого находят наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Затем числитель и знаменатель каждой дроби умножают на дополнительный множитель (равный частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби). После приведения к общему знаменателю дроби складывают по правилу из пункта 1.
Общая формула для сложения дробей с разными знаменателями: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + bc}{bd}$.

Ответ: Чтобы сложить дроби, их приводят к общему знаменателю, а затем складывают полученные числители, оставляя знаменатель без изменений. Формула: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$.

Разность

Определение разности дробей аналогично определению суммы.
1. Если у дробей одинаковые знаменатели, то их разность равна дроби, числитель которой есть разность числителей исходных дробей (из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемого), а знаменатель остается тем же.
Формула: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$.
2. Если у дробей разные знаменатели, их так же, как и при сложении, приводят к общему знаменателю. Затем из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а знаменатель оставляют общим.
Общая формула для вычитания дробей с разными знаменателями: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad - bc}{bd}$.

Ответ: Чтобы найти разность дробей, их приводят к общему знаменателю, а затем из числителя первой дроби вычитают числитель второй, оставляя знаменатель без изменений. Формула: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}$.

Произведение

Чтобы найти произведение двух обыкновенных дробей, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первое произведение становится числителем новой дроби, а второе — ее знаменателем. Перед умножением полезно, если возможно, сократить числитель одной дроби и знаменатель другой на их общие делители, это упростит вычисления.

Ответ: Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Формула: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

Частное

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую (делимое на делитель), нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Дробь, обратная данной (например, $\frac{c}{d}$), получается путем замены числителя и знаменателя местами (получается $\frac{d}{c}$).

Ответ: Частное двух дробей равно произведению первой дроби на дробь, обратную второй. Формула: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$.

4) Что такое правильные и неправильные дроби? Что вы понимаете под смешанным числом?

Правильные дроби

Правильная дробь – это обыкновенная дробь, у которой числитель (число, стоящее над чертой) меньше знаменателя (числа, стоящего под чертой). Величина правильной дроби всегда меньше 1.

Например, дроби $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{99}{100}$ являются правильными, так как в каждом случае числитель меньше знаменателя.

Для дроби вида $\frac{a}{b}$ условие правильности выглядит так: $a < b$.

Ответ: Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Неправильные дроби

Неправильная дробь – это обыкновенная дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Величина неправильной дроби всегда больше или равна 1.

Например, дроби $\frac{7}{4}$, $\frac{10}{3}$, $\frac{5}{5}$ являются неправильными. Дробь $\frac{7}{4}$ неправильная, так как $7 > 4$. Дробь $\frac{5}{5}$ также неправильная, так как $5 = 5$, и ее значение равно 1.

Для дроби вида $\frac{a}{b}$ условие неправильности выглядит так: $a \ge b$.

Ответ: Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Смешанное число

Смешанное число (или смешанная дробь) – это способ записи числа, которое состоит из целой части и дробной части, причем дробная часть всегда является правильной дробью. Смешанное число — это, по сути, сокращенная запись суммы целого числа и правильной дроби.

Любую неправильную дробь, которая не равна целому числу, можно представить в виде смешанного числа. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель с остатком.

Например, преобразуем неправильную дробь $\frac{9}{2}$ в смешанное число. Разделим 9 на 2 с остатком: $9 \div 2 = 4$ (остаток $1$). Неполное частное ($4$) становится целой частью. Остаток ($1$) становится числителем дробной части. Знаменатель ($2$) не меняется. Таким образом, мы получаем смешанное число $4\frac{1}{2}$, что означает $4 + \frac{1}{2}$.

Ответ: Смешанное число — это число, состоящее из целой части и правильной дробной части.

5) Как определяется сумма, разность, произведение и частное смешанных чисел?

Смешанное число — это число, состоящее из целой и дробной части, например $2\frac{3}{4}$. Чтобы выполнять арифметические операции со смешанными числами, существуют определенные правила для каждой операции.

Сумма

Чтобы найти сумму смешанных чисел, можно использовать один из двух способов:

Способ 1: Сложение целых и дробных частей по отдельности.

1. Сложить целые части чисел.
2. Сложить их дробные части. Если знаменатели разные, их нужно привести к общему знаменателю.
3. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью (числитель больше знаменателя или равен ему), нужно выделить из нее целую часть.
4. Прибавить эту целую часть к сумме целых частей, полученной в первом шаге.

Пример: Найти сумму $3\frac{1}{4}$ и $2\frac{5}{6}$.

1. Складываем целые части: $3 + 2 = 5$.
2. Складываем дробные части, приведя их к общему знаменателю 12: $\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12}$.
3. Дробь $\frac{13}{12}$ — неправильная. Выделяем целую часть: $\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$.
4. Складываем результаты: $5 + 1\frac{1}{12} = 6\frac{1}{12}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби.

1. Каждое смешанное число представить в виде неправильной дроби.
2. Сложить полученные дроби по правилам сложения дробей.
3. Если результат — неправильная дробь, преобразовать его обратно в смешанное число.

Пример: $3\frac{1}{4} + 2\frac{5}{6} = \frac{13}{4} + \frac{17}{6} = \frac{39}{12} + \frac{34}{12} = \frac{73}{12} = 6\frac{1}{12}$.

Ответ: Сумма смешанных чисел находится либо путем раздельного сложения целых и дробных частей (с последующим преобразованием неправильной дроби, если она получилась), либо путем преобразования чисел в неправильные дроби, их сложения и последующего преобразования результата обратно в смешанное число. $3\frac{1}{4} + 2\frac{5}{6} = 6\frac{1}{12}$.

Разность

Вычитание смешанных чисел также можно выполнять двумя способами.

Способ 1: Вычитание целых и дробных частей по отдельности.

1. Вычесть целые части.
2. Вычесть дробные части (приведя к общему знаменателю).
3. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить её в виде дроби с нужным знаменателем и добавить к дробной части.
4. Сложить полученные результаты.

Пример: Найти разность $5\frac{1}{4}$ и $2\frac{3}{4}$.

1. Дробная часть $\frac{1}{4}$ меньше, чем $\frac{3}{4}$. Занимаем 1 у 5.
2. $5\frac{1}{4} = 4 + 1 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}$.
3. Теперь вычитаем: $4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4}$.
4. Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$.
5. Вычитаем дробные части: $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
6. Результат: $2\frac{1}{2}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби.

1. Преобразовать оба числа в неправильные дроби.
2. Выполнить вычитание дробей.
3. Преобразовать результат в смешанное число, если необходимо.

Пример: $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = \frac{21}{4} - \frac{11}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: Разность смешанных чисел определяется либо раздельным вычитанием целых и дробных частей (при необходимости "занимая" единицу у целой части), либо преобразованием чисел в неправильные дроби с последующим вычитанием. $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{1}{2}$.

Произведение

Для нахождения произведения смешанных чисел необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразовать каждое смешанное число в неправильную дробь.
2. Перемножить числители полученных дробей — это будет числитель результата.
3. Перемножить знаменатели — это будет знаменатель результата.
4. Если возможно, сократить полученную дробь.
5. Если результат — неправильная дробь, преобразовать её в смешанное число.

Пример: Найти произведение $2\frac{1}{3}$ и $1\frac{4}{5}$.

1. Преобразуем в неправильные дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$; $1\frac{4}{5} = \frac{9}{5}$.
2. Перемножаем дроби: $\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{5} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 5} = \frac{63}{15}$.
3. Сокращаем дробь (делим числитель и знаменатель на 3): $\frac{63 \div 3}{15 \div 3} = \frac{21}{5}$.
4. Преобразуем в смешанное число: $\frac{21}{5} = 4\frac{1}{5}$.

Ответ: Произведение смешанных чисел находится путем их преобразования в неправильные дроби, перемножения этих дробей и последующего преобразования результата обратно в смешанное число. $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{4}{5} = 4\frac{1}{5}$.

Частное

Для нахождения частного смешанных чисел (деления одного на другое) нужно:

1. Преобразовать делимое и делитель (оба смешанных числа) в неправильные дроби.
2. Деление дробей заменить умножением, "перевернув" вторую дробь (делитель), то есть поменяв местами её числитель и знаменатель.
3. Перемножить полученные дроби.
4. Сократить и, если необходимо, преобразовать результат в смешанное число.

Пример: Найти частное от деления $3\frac{3}{4}$ на $1\frac{1}{2}$.

1. Преобразуем в неправильные дроби: $3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$; $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
2. Выполняем деление: $\frac{15}{4} \div \frac{3}{2}$.
3. Заменяем деление умножением на обратную дробь: $\frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3}$.
4. Перемножаем: $\frac{15 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{30}{12}$.
5. Сокращаем (делим на 6): $\frac{30 \div 6}{12 \div 6} = \frac{5}{2}$.
6. Преобразуем в смешанное число: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: Частное смешанных чисел находится путем их преобразования в неправильные дроби, последующего умножения первой дроби на дробь, обратную второй, и преобразования результата в смешанное число. $3\frac{3}{4} \div 1\frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$.

6) Какие дроби называются десятичными дробями? Как получить бесконечную периодическую десятичную дробь?

Какие дроби называются десятичными дробями?

Десятичными дробями называют особый вид записи обыкновенных дробей, знаменатель которых представляет собой степень числа 10, то есть $10, 100, 1000, \dots, 10^n$, где $n$ — натуральное число.

Особенность десятичных дробей заключается в их "беззнаменательной" записи. Число записывается в одну строку, где целая часть отделяется от дробной части с помощью запятой (в русскоязычной традиции) или точки. Цифры, стоящие после запятой, называются десятичными знаками.

Например:

• Обыкновенная дробь $\frac{3}{10}$ в десятичной записи выглядит как $0,3$.
• Дробь $\frac{57}{100}$ записывается как $0,57$.
• Смешанное число $2\frac{14}{1000}$ записывается как $2,014$.

Любую обыкновенную дробь $\frac{p}{q}$ можно представить в виде десятичной путем деления числителя $p$ на знаменатель $q$. В результате могут получиться два типа десятичных дробей:

1. Конечные десятичные дроби. Это дроби с конечным числом цифр после запятой. Обыкновенную несократимую дробь можно преобразовать в конечную десятичную только в том случае, если её знаменатель не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5. Например, $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 0,25$.
2. Бесконечные десятичные дроби. Это дроби с бесконечным числом цифр после запятой. Они, в свою очередь, бывают периодическими и непериодическими. Все обыкновенные дроби, которые не переводятся в конечные десятичные, переводятся в бесконечные периодические.

Ответ: Десятичными дробями называют дроби, представленные в позиционной системе счисления с основанием 10, где целая часть отделена от дробной запятой. По сути, это иная форма записи обыкновенных дробей со знаменателем $10^n$.

Как получить бесконечную периодическую десятичную дробь?

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в которой одна или несколько цифр после запятой, называемые периодом, бесконечно повторяются в одной и той же последовательности. Например, $0,333\dots$ или $1,28454545\dots$.

Бесконечную периодическую десятичную дробь получают при преобразовании обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$ в десятичную, если знаменатель $q$ этой несократимой дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

Алгоритм получения такой дроби следующий:

1. Взять обыкновенную дробь, например, $\frac{5}{6}$.
2. Убедиться, что дробь несократима (в данном случае это так).
3. Проанализировать простые множители знаменателя: $6 = 2 \times 3$. Поскольку присутствует множитель 3, дробь будет бесконечной периодической.
4. Разделить числитель на знаменатель "в столбик".

Выполним деление 5 на 6:

$5 \div 6 = 0$.
Добавляем ноль, ставим запятую в частном: $50 \div 6 = 8$ (остаток 2).
К остатку 2 добавляем ноль: $20 \div 6 = 3$ (остаток 2).
К остатку 2 снова добавляем ноль: $20 \div 6 = 3$ (остаток 2).
Мы видим, что остаток 2 начал повторяться, а значит, и цифра 3 в частном будет повторяться бесконечно.

Таким образом, $\frac{5}{6} = 0,8333...$ . Повторяющаяся цифра 3 является периодом. Это записывается как $0,8(3)$.

Еще один пример, дробь $\frac{1}{7}$. Знаменатель 7 — простое число, отличное от 2 и 5. Деление 1 на 7 дает $0,142857142857...$ . Здесь период — это группа цифр $142857$. Запись: $0,(142857)$.

Ответ: Бесконечную периодическую десятичную дробь получают путем деления числителя обыкновенной дроби на ее знаменатель, при условии, что в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители содержатся простые числа, отличные от 2 и 5.

7) Как перевести обыкновенную дробь в десятичную и, обратно, десятичную дробь в обыкновенную?

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Основной способ перевода обыкновенной дроби в десятичную — это деление ее числителя на знаменатель. Дробная черта эквивалентна знаку деления. В результате такого деления может получиться либо конечная, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

1. Получение конечной десятичной дроби
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби при разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5, то такую дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Это можно сделать двумя способами:

• Разделить числитель на знаменатель "столбиком".
• Привести дробь к знаменателю, равному степени десяти (10, 100, 1000 и т.д.), домножив числитель и знаменатель на соответствующее число.

Пример: Перевести дробь $\frac{3}{4}$ в десятичную.
Способ 1 (деление): $3 \div 4 = 0.75$.
Способ 2 (приведение знаменателя): Знаменатель $4 = 2^2$. Чтобы получить в знаменателе $100$ ($10^2$), нужно домножить на $5^2 = 25$.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75$

2. Получение бесконечной периодической десятичной дроби
Если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители присутствуют любые другие числа, кроме 2 и 5 (например, 3, 7, 11), то при делении числителя на знаменатель получится бесконечная периодическая дробь.

Пример: Перевести дробь $\frac{5}{6}$ в десятичную.
Знаменатель $6 = 2 \times 3$. Наличие множителя 3 указывает на то, что дробь будет периодической. Разделим 5 на 6 столбиком: $5 \div 6 = 0.8333...$
Повторяющаяся цифра (3) называется периодом дроби и записывается в скобках: $0.8(3)$.

Ответ: Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, необходимо разделить ее числитель на знаменатель.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Способ перевода зависит от вида десятичной дроби: конечная она или бесконечная периодическая.

1. Перевод конечной десятичной дроби
Чтобы преобразовать конечную десятичную дробь в обыкновенную (или смешанное число), следуйте алгоритму:

1. В числитель будущей дроби запишите все цифры десятичной дроби, убрав запятую.
2. В знаменатель запишите единицу и столько нулей, сколько цифр было после запятой в исходной дроби.
3. Если у исходной дроби была целая часть, то можно записать ее отдельно, а в числитель поставить только дробную часть. В итоге получится смешанное число.
4. Полученную обыкновенную дробь сократите, если это возможно.

Пример 1: Перевести $0.68$ в обыкновенную дробь.
$0.68 = \frac{68}{100}$. Сокращаем дробь на 4: $\frac{68 \div 4}{100 \div 4} = \frac{17}{25}$.

Пример 2: Перевести $5.4$ в смешанное число.
Целая часть равна 5. Дробная часть $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Следовательно, $5.4 = 5\frac{2}{5}$.

2. Перевод бесконечной периодической десятичной дроби

А) Чистая периодическая дробь (период идет сразу после запятой).
Правило: в числитель дроби записывается число, составляющее период, а в знаменатель — столько цифр 9, сколько цифр в периоде.
Пример: $0.(21) = \frac{21}{99}$. Сокращаем на 3: $\frac{21 \div 3}{99 \div 3} = \frac{7}{33}$.

Б) Смешанная периодическая дробь (между запятой и периодом есть цифры).
Правило:

• Числитель: из числа, стоящего после запятой (включая первый период), вычесть число, стоящее до периода.
• Знаменатель: записать столько девяток, сколько цифр в периоде, а затем дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом.

Пример: Перевести $0.12(5)$ в обыкновенную дробь.
Числитель: $125 - 12 = 113$.
Знаменатель: в периоде одна цифра (5) — значит, одна 9. Между запятой и периодом две цифры (12) — значит, два 0. Получаем знаменатель 900.
$0.12(5) = \frac{113}{900}$. Дробь несократимая.

Ответ: Для перевода конечной десятичной дроби ее записывают в виде дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д., а затем сокращают. Для перевода периодической дроби используются специальные правила, где в знаменателе ставятся девятки (по числу цифр в периоде) и нули (по числу цифр до периода).

8) Как определить сумму, разность, произведение и частное двух десятичных дробей?

Для выполнения арифметических операций с десятичными дробями существуют следующие правила:

Сумма

Чтобы сложить две десятичные дроби, необходимо выполнить следующие действия:

1. Уравнять количество знаков после запятой в обеих дробях, приписав нули в конце дроби с меньшим количеством десятичных знаков.
2. Записать дроби друг под другом так, чтобы запятая находилась под запятой.
3. Выполнить сложение так же, как и для натуральных чисел, не обращая внимания на запятую.
4. В полученной сумме поставить запятую строго под запятыми исходных дробей.

Пример: Найдем сумму $5.72$ и $14.5$.

1. Уравниваем количество знаков после запятой: $14.5$ представляем как $14.50$.

2. Записываем в столбик и складываем:

 5.72+14.50------ 20.22 

Ответ: Чтобы найти сумму десятичных дробей, нужно записать их в столбик так, чтобы запятые были друг под другом, а затем выполнить сложение как с натуральными числами, поставив в ответе запятую под запятыми слагаемых.

Разность

Чтобы вычесть одну десятичную дробь из другой, необходимо:

1. Уравнять количество знаков после запятой в уменьшаемом и вычитаемом.
2. Записать дроби друг под другом (уменьшаемое сверху, вычитаемое снизу) так, чтобы запятая находилась под запятой.
3. Выполнить вычитание так же, как и для натуральных чисел.
4. В полученной разности поставить запятую под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.

Пример: Найдем разность $25.4$ и $8.125$.

1. Уравниваем количество знаков после запятой: $25.4$ представляем как $25.400$.

2. Записываем в столбик и вычитаем:

 25.400- 8.125------- 17.275 

Ответ: Чтобы найти разность десятичных дробей, нужно записать их в столбик так, чтобы запятые были друг под другом, а затем выполнить вычитание как с натуральными числами, поставив в ответе запятую под запятыми.

Произведение

Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно:

1. Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые (как будто это натуральные числа).
2. Посчитать общее количество знаков после запятой в обоих множителях.
3. В полученном произведении отделить справа запятой столько знаков, сколько их в сумме у обоих множителей. Если в произведении не хватает цифр, то слева дописывают нули.

Пример: Найдем произведение $3.14$ и $2.5$.

1. Умножаем $314$ на $25$, получаем $7850$.

2. В первом множителе ($3.14$) два знака после запятой, во втором ($2.5$) — один. Всего $2 + 1 = 3$ знака.

3. В результате $7850$ отделяем справа 3 знака: $7.850$, что равно $7.85$.

Ответ: Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно умножить их как натуральные числа, а затем в результате отделить запятой справа столько цифр, сколько их в сумме после запятой в обоих множителях.

Частное

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, необходимо:

1. В делимом и делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе. Если в делимом не хватает знаков, дописать справа нули.
2. После этого выполнить деление на получившееся натуральное число, используя метод "уголком".
3. Запятая в частном ставится в тот момент, когда заканчивается деление целой части делимого.

Пример: Разделим $21.28$ на $5.6$.

1. В делителе ($5.6$) один знак после запятой. Переносим запятую на один знак вправо в обоих числах: получаем $212.8 \div 56$.

2. Выполняем деление уголком:

212.8 | 56-168 |-------- | 3.8 448 -448 ---- 0 

Деление целой части ($212$) на $56$ дает $3$ и остаток $44$. Ставим в частном запятую. Сносим $8$, получаем $448$. Делим $448$ на $56$, получаем $8$. Результат $3.8$.

Ответ: Чтобы разделить десятичную дробь на другую, нужно в делителе и делимом перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их в делителе, а затем выполнить деление делимого на получившееся натуральное число.

9) Как определить сумму, разность, произведение и частное обыкновенной дроби с десятичной дробью?

Для выполнения арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) с обыкновенной и десятичной дробями, необходимо привести их к одному виду. Существует два основных подхода:

1. Преобразовать десятичную дробь в обыкновенную. Этот метод является универсальным и всегда дает точный результат. Для этого число из десятичной дроби (без запятой) записывается в числитель, а в знаменатель ставится 1 с таким количеством нулей, сколько знаков было после запятой. Например, $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

2. Преобразовать обыкновенную дробь в десятичную. Этот метод удобен, если обыкновенная дробь легко преобразуется в конечную десятичную дробь. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель. Например, $\frac{2}{5} = 2 \div 5 = 0.4$. Если же в результате деления получается бесконечная периодическая дробь (например, $\frac{1}{3} = 0.333...$), то первый способ (преобразование в обыкновенные дроби) является предпочтительным для сохранения точности.

Рассмотрим применение этих подходов для каждой операции.

Сумма

Чтобы найти сумму, нужно представить обе дроби в одинаковом виде и затем сложить их.

Пример: Найти сумму $\frac{2}{5} + 0.7$.

Способ 1: Приведение к обыкновенным дробям.
Преобразуем $0.7$ в обыкновенную дробь: $0.7 = \frac{7}{10}$.
Теперь сложим дроби, приведя их к общему знаменателю (10):
$\frac{2}{5} + \frac{7}{10} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} + \frac{7}{10} = \frac{4}{10} + \frac{7}{10} = \frac{4+7}{10} = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10}$.

Способ 2: Приведение к десятичным дробям.
Преобразуем $\frac{2}{5}$ в десятичную дробь: $2 \div 5 = 0.4$.
Выполняем сложение десятичных дробей: $0.4 + 0.7 = 1.1$.
Результаты совпадают: $1\frac{1}{10} = 1.1$.

Ответ: чтобы найти сумму обыкновенной и десятичной дроби, нужно преобразовать их к одному виду (обыкновенному или десятичному) и выполнить сложение по правилам для этого вида дробей.

Разность

Действия аналогичны сложению. Дроби приводятся к одному виду, после чего выполняется вычитание.

Пример: Найти разность $\frac{3}{4} - 0.25$.

Способ 1: Приведение к обыкновенным дробям.
Преобразуем $0.25$ в обыкновенную дробь: $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Выполняем вычитание: $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Способ 2: Приведение к десятичным дробям.
Преобразуем $\frac{3}{4}$ в десятичную дробь: $3 \div 4 = 0.75$.
Выполняем вычитание: $0.75 - 0.25 = 0.5$.
Результаты совпадают: $\frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: чтобы найти разность обыкновенной и десятичной дроби, нужно преобразовать их к одному виду (обыкновенному или десятичному) и выполнить вычитание по правилам для этого вида дробей.

Произведение

Для умножения дробей их также необходимо привести к общему виду. Часто удобнее переводить десятичную дробь в обыкновенную, так как это позволяет избежать умножения многозначных десятичных чисел и использовать сокращение дробей.

Пример: Найти произведение $\frac{1}{3} \times 0.6$.

Здесь преобразование $\frac{1}{3}$ в десятичную дробь даст бесконечную дробь $0.(3)$, поэтому работаем с обыкновенными дробями.
Преобразуем $0.6$ в обыкновенную дробь: $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Выполняем умножение: $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1 \times 3}{3 \times 5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Ответ: чтобы найти произведение обыкновенной и десятичной дроби, нужно преобразовать их к одному виду и выполнить умножение. Преобразование в обыкновенные дроби часто является более предпочтительным.

Частное

Как и в предыдущих случаях, дроби приводятся к одному виду. Для деления, как и для умножения, часто удобнее использовать обыкновенные дроби.

Пример: Найти частное $\frac{7}{8} \div 0.5$.

Способ 1: Приведение к обыкновенным дробям.
Преобразуем $0.5$ в обыкновенную дробь: $0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Выполняем деление (умножаем на обратную дробь): $\frac{7}{8} \div \frac{1}{2} = \frac{7}{8} \times \frac{2}{1} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.

Способ 2: Приведение к десятичным дробям.
Преобразуем $\frac{7}{8}$ в десятичную дробь: $7 \div 8 = 0.875$.
Выполняем деление: $0.875 \div 0.5 = 1.75$.
Результаты совпадают: $1\frac{3}{4} = 1.75$.

Ответ: чтобы найти частное обыкновенной и десятичной дроби, нужно преобразовать их к одному виду и выполнить деление. Преобразование в обыкновенные дроби часто упрощает вычисления.

10) Что такое рациональное число?

10) Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где числитель $p$ является целым числом ($p \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $q$ — целым числом, не равным нулю ($q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$). Само название происходит от латинского слова ratio, что означает «отношение», «деление», «дробь». Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом $\mathbb{Q}$.

Рациональными числами являются:

• Целые числа: любое целое число $n$ можно представить как дробь со знаменателем 1. Например, $5 = \frac{5}{1}$ или $-3 = \frac{-3}{1}$.
• Обыкновенные дроби: например, $\frac{1}{2}$, $\frac{7}{3}$, $-\frac{4}{9}$.
• Конечные десятичные дроби: любая такая дробь может быть представлена в виде обыкновенной. Например, $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
• Бесконечные периодические десятичные дроби: их также всегда можно преобразовать в обыкновенную дробь. Например, $0.333... = 0.(3) = \frac{1}{3}$.

Таким образом, любое число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, является рациональным. Числа, которые нельзя представить в виде такой дроби (например, $\sqrt{2}$ или $\pi$), называются иррациональными.

Ответ: Рациональное число — это число, представимое в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — целое число, не равное нулю.

11)

Как найти указанный процент данного числа?

Чтобы найти указанный процент от данного числа, существует несколько удобных способов. Процент (обозначается знаком %) — это одна сотая часть чего-либо. Например, 1% от числа — это его сотая часть, 50% — половина.

Способ 1: Преобразование процента в дробь

Это самый прямой и часто используемый метод. Он состоит из двух шагов:

1. Перевести проценты в десятичную или обыкновенную дробь. Для этого число процентов нужно разделить на 100.
Например, 25% — это дробь $25 / 100 = 0.25$.

2. Умножить данное число на полученную дробь.

Пример: Найдем 40% от числа 300.

Сначала переводим 40% в десятичную дробь: $40 \div 100 = 0.4$.

Затем умножаем число 300 на эту дробь: $300 \cdot 0.4 = 120$.

Если обозначить данное число как $A$, а количество процентов как $p$, то общая формула будет выглядеть так: $A \cdot \frac{p}{100}$.

Ответ: Чтобы найти указанный процент от числа, нужно это число умножить на количество процентов и разделить на 100.

Способ 2: Использование пропорции

Этот метод очень нагляден и помогает избежать ошибок в логике.

1. Принять данное число за 100%.

2. Составить пропорцию, где искомое значение (обычно обозначается как $x$) соответствует искомому проценту.

3. Найти неизвестный член пропорции.

Пример: Снова найдем 40% от числа 300.

Составляем пропорцию:

Число 300 — это 100%

Искомое число $x$ — это 40%

Запишем это математически:

$300 \text{ — } 100\%$

$x \text{ — } 40\%$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем уравнение: $x \cdot 100 = 300 \cdot 40$.

Решаем его, чтобы найти $x$:

$x = \frac{300 \cdot 40}{100} = \frac{12000}{100} = 120$.

Ответ: Чтобы найти процент от числа методом пропорции, нужно составить пропорцию, где данное число относится к 100%, как искомое число к заданному проценту, и решить ее.

12) Что такое модуль числа? Как его находят?

Что такое модуль числа?

Модуль числа, также известный как абсолютная величина, является одним из фундаментальных понятий в математике. Его можно определить двумя способами: геометрически и алгебраически.

Геометрическое определение: Модуль действительного числа — это расстояние на координатной прямой от начала координат (точки 0) до точки, которая соответствует этому числу. Поскольку расстояние не может быть отрицательной величиной, модуль любого числа всегда является неотрицательным (то есть положительным или равным нулю).

Например, и число $7$, и число $-7$ на координатной прямой находятся на расстоянии 7 единичных отрезков от нуля. Поэтому модуль числа $7$ равен $7$, и модуль числа $-7$ также равен $7$. Записывается это так: $|7| = 7$ и $|-7| = 7$.

Алгебраическое определение: Модуль числа $a$, который обозначается как $|a|$, определяется следующим образом:
- модуль положительного числа равен самому числу;
- модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу (то есть числу без знака минус);
- модуль нуля равен нулю.

Это определение можно записать в виде единой формулы:
$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Ответ: Модуль числа — это расстояние от нуля до этого числа на числовой прямой. С точки зрения алгебры, это само число, если оно неотрицательное, и противоположное ему положительное число, если оно отрицательное. Модуль числа всегда является неотрицательной величиной.

Как его находят?

Чтобы найти модуль конкретного числа, нужно следовать простому правилу, которое вытекает непосредственно из его определения:

1. Если число положительное или равно нулю, то его модуль равен самому этому числу.
Примеры:
$|15| = 15$
$|4.28| = 4.28$
$|0| = 0$

2. Если число отрицательное, то чтобы найти его модуль, нужно просто отбросить знак «минус». Иными словами, модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
Примеры:
$|-15| = 15$
$|-4.28| = 4.28$
$|-\frac{5}{9}| = \frac{5}{9}$

Таким образом, операция взятия модуля «превращает» любое отрицательное число в положительное, а положительные числа и ноль оставляет без изменений.

Ответ: Чтобы найти модуль числа, нужно посмотреть на его знак. Если число положительное или ноль, его модуль равен самому числу. Если число отрицательное, его модуль равен этому же числу, но со знаком «плюс» (то есть без знака «минус»).

13) Как находят сумму чисел с разными знаками?

13)

Чтобы найти сумму двух чисел с разными знаками, необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Найти модули (абсолютные значения) слагаемых. Модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число, то есть это само число, но без знака. Например, модуль числа $-7$ равен $7$ (записывается как $|-7|=7$), а модуль числа $7$ также равен $7$ (записывается как $|7|=7$).
2. Сравнить полученные модули и определить, какой из них больше.
3. Из большего модуля вычесть меньший.
4. Перед полученным в результате вычитания числом поставить знак того слагаемого, модуль которого был больше.

Важный частный случай: если модули чисел равны, то их сумма равна нулю. Такие числа называются противоположными.

Примеры:

а) Найдем сумму чисел $15$ и $-6$.

1. Находим модули: $|15| = 15$ и $|-6| = 6$.
2. Сравниваем модули: $15 > 6$. Больший модуль у числа $15$.
3. Из большего модуля вычитаем меньший: $15 - 6 = 9$.
4. Так как число с большим модулем ($15$) положительное, то и результат будет положительным.
Таким образом, $15 + (-6) = 9$.

б) Найдем сумму чисел $-25$ и $10$.

1. Находим модули: $|-25| = 25$ и $|10| = 10$.
2. Сравниваем модули: $25 > 10$. Больший модуль у числа $-25$.
3. Из большего модуля вычитаем меньший: $25 - 10 = 15$.
4. Так как число с большим модулем ($-25$) отрицательное, то и результат будет отрицательным.
Таким образом, $-25 + 10 = -15$.

в) Найдем сумму чисел $18$ и $-18$.

1. Находим модули: $|18| = 18$ и $|-18| = 18$.
2. Модули чисел равны. Это противоположные числа.
Сумма противоположных чисел всегда равна $0$.
Таким образом, $18 + (-18) = 0$.

Ответ: Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и перед полученной разностью поставить знак того слагаемого, чей модуль больше.

14) Что такое пропорция? Какими свойствами она обладает?

Что такое пропорция?

Пропорция — это равенство двух отношений. Если даны два отношения $a:b$ и $c:d$, то их равенство $a:b = c:d$ или, что то же самое, в виде дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ называется пропорцией (при условии, что $b \neq 0$ и $d \neq 0$).

Числа $a$ и $d$ называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ — средними членами пропорции.

Читается пропорция так: «$a$ относится к $b$ так же, как $c$ относится к $d$».

Например, равенство $1:2 = 4:8$ или $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ — это верная пропорция, так как значение обоих отношений равно $0.5$. В этой пропорции числа $1$ и $8$ являются крайними членами, а числа $2$ и $4$ — средними.

Ответ: Пропорция — это равенство двух отношений, которое можно записать в виде $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Какими свойствами она обладает?

Пропорция обладает несколькими важными свойствами, которые используются для решения различных математических задач. Главным из них является основное свойство пропорции.

1. Основное свойство пропорции.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это свойство записывается формулой: $a \cdot d = b \cdot c$.
Это свойство позволяет, например, находить неизвестный член пропорции. Если нам нужно найти $x$ в пропорции $\frac{x}{5} = \frac{6}{15}$, мы можем записать $x \cdot 15 = 5 \cdot 6$, откуда $15x = 30$ и $x = 2$.

2. Свойства перестановки членов пропорции.
Если пропорция $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ верна, то верны и следующие пропорции, полученные из неё путем перестановки членов:
- Перестановка средних членов: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.
- Перестановка крайних членов: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$.
- Обращение пропорции (замена каждого отношения обратным ему): $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$.

3. Свойства производных пропорций.
Из верной пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ можно получить новые верные пропорции путем сложения или вычитания её членов:
- $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$
- $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$
- $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
Эти свойства особенно полезны в геометрии, например, при работе с подобными фигурами.

Ответ: Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение её крайних членов равно произведению средних ($a \cdot d = b \cdot c$). Другие свойства включают возможность переставлять средние или крайние члены, обращать пропорцию, а также образовывать производные пропорции путем сложения и вычитания ее членов.

15) Какие величины называются прямо пропорциональными?

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая величина также увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Ключевым свойством таких величин является то, что отношение их соответствующих значений остаётся постоянным.

Если обозначить две прямо пропорциональные величины как $y$ и $x$, то их зависимость можно выразить с помощью формулы прямой пропорциональности:

$y = k \cdot x$

Здесь $k$ — это постоянное, не равное нулю число, которое называется коэффициентом пропорциональности. Из этой формулы следует, что отношение двух величин всегда равно этому коэффициенту:

$\frac{y}{x} = k$

Примеры прямо пропорциональных величин:

• Стоимость товара и его количество: Если цена за единицу товара постоянна, то общая стоимость покупки прямо пропорциональна количеству товара. Например, если 1 кг яблок стоит 100 рублей, то 2 кг будут стоить 200 рублей, а 3 кг — 300 рублей. Отношение стоимости к количеству всегда равно 100.
• Пройденный путь и время движения: При постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционален времени. Если автомобиль движется со скоростью 60 км/ч, то за 2 часа он проедет 120 км, а за 3 часа — 180 км. Отношение пути ко времени ($s/t$) всегда равно скорости ($v$).
• Периметр квадрата и длина его стороны: Периметр квадрата ($P$) всегда в 4 раза больше длины его стороны ($a$), что выражается формулой $P = 4a$. При увеличении стороны в несколько раз, периметр увеличивается во столько же раз.

Ответ: Прямо пропорциональными называются две величины, при увеличении (или уменьшении) одной из которых в несколько раз, другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Иначе говоря, это величины, отношение которых постоянно.

16) Какие величины называются обратно пропорциональными?

16) Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Ключевое свойство таких величин заключается в том, что их произведение является постоянной величиной (константой). Если обозначить эти величины как $x$ и $y$, а их постоянное произведение (коэффициент обратной пропорциональности) как $k$, то их зависимость выражается формулой:

$y = \frac{k}{x}$ или, что то же самое, $x \cdot y = k$ (где $k \ne 0$).

Наглядным примером является зависимость между скоростью и временем при движении на фиксированное расстояние. Пусть расстояние $S$ равно 120 км. Скорость обозначим как $v$, а время как $t$. Тогда $v \cdot t = 120$.

• Если ехать со скоростью $v = 60$ км/ч, то время в пути составит $t = \frac{120}{60} = 2$ часа.
• Если увеличить скорость в 2 раза до $v = 120$ км/ч, то время уменьшится в 2 раза и составит $t = \frac{120}{120} = 1$ час.
• Если уменьшить скорость до $v = 30$ км/ч, то время, наоборот, увеличится и составит $t = \frac{120}{30} = 4$ часа.

Во всех случаях произведение $v \cdot t$ остается постоянным и равным 120. Это показывает, что скорость и время в данном случае являются обратно пропорциональными величинами.

Ответ: Обратно пропорциональными называются две величины, для которых увеличение одной в несколько раз приводит к уменьшению другой во столько же раз, а их произведение при этом остается неизменным (является константой).

17) Что такое координатная ось (прямая)? Как изобразить на координатной оси данное рациональное число?

Что такое координатная ось (прямая)?

Координатная ось, также известная как координатная прямая или числовая ось, — это прямая линия, на которой установлено взаимно-однозначное соответствие между точками и действительными числами. Чтобы превратить обычную прямую в координатную ось, необходимо задать три элемента:

1. Начало отсчета (начало координат): это точка на прямой, которой ставится в соответствие число 0. Обычно её обозначают буквой O.
2. Единичный отрезок (масштаб): это отрезок, длина которого принимается за единицу измерения. Конец первого единичного отрезка, отложенного от начала координат в положительном направлении, соответствует числу 1. Длина этого отрезка задает масштаб на всей оси.
3. Положительное направление: это одно из двух возможных направлений на прямой, которое выбирается в качестве положительного. Обычно его указывают стрелкой. Движение в этом направлении от начала отсчета соответствует увеличению чисел, а в противоположном (отрицательном) направлении — их уменьшению.

Таким образом, каждая точка на координатной оси имеет свою уникальную координату — число, которое показывает её положение относительно начала отсчета. Положительные числа находятся справа от нуля (в положительном направлении), а отрицательные — слева.

Ответ: Координатная ось — это прямая с выбранными на ней началом отсчета (точкой 0), единичным отрезком (масштабом) и положительным направлением.

Как изобразить на координатной оси данное рациональное число?

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число (то есть $n > 0$). Чтобы изобразить (отметить) такое число на координатной оси, нужно выполнить следующие шаги:

1. Определить положение относительно нуля. Если число положительное ($m > 0$), оно будет располагаться справа от точки 0. Если число отрицательное ($m < 0$), оно будет располагаться слева от точки 0. Если $m = 0$, то это точка 0.
2. Разделить единичный отрезок. Знаменатель дроби $n$ показывает, на сколько равных частей нужно разделить каждый единичный отрезок на оси (например, отрезок от 0 до 1, от 1 до 2 и т.д.).
3. Отложить необходимое количество частей. Модуль числителя $|m|$ показывает, сколько таких маленьких частей нужно отсчитать от начала координат (точки 0) в соответствующем направлении (вправо для положительных чисел, влево для отрицательных).

Пример 1: Изобразить число $3/4$.
Это положительное число. Мы делим единичный отрезок (от 0 до 1) на 4 равные части. Затем отсчитываем 3 такие части вправо от нуля. Полученная точка и будет изображением числа $3/4$.

Пример 2: Изобразить число $-5/3$.
Сначала представим его в виде смешанного числа: $-5/3 = -1 \frac{2}{3}$. Это отрицательное число, значит, оно находится слева от нуля.
Знаменатель 3 говорит нам, что каждый единичный отрезок (например, от 0 до -1, от -1 до -2) нужно разделить на 3 равные части.
Числитель 5 говорит, что от нуля нужно отложить 5 таких частей влево. Отложив 3 части, мы попадем в точку -1. Затем нужно отложить еще 2 части влево. Таким образом, точка будет находиться между -1 и -2. Это и есть точка, соответствующая числу $-5/3$.

Для точного геометрического построения деления отрезка на равные части можно использовать теорему Фалеса.

Ответ: Чтобы изобразить рациональное число $m/n$ на координатной оси, нужно единичный отрезок разделить на $n$ равных частей и отложить от начала координат $|m|$ таких частей вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).

18) Какие числа называются противоположными числами?

Противоположными числами называют два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Иначе говоря, это числа, которые имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но противоположные знаки.

Основные свойства и характеристики противоположных чисел:

1. Геометрический смысл: На числовой (координатной) прямой противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета (точки 0), но в разных направлениях от него. Например, числа $7$ и $-7$ оба расположены на расстоянии 7 единиц от нуля.

2. Алгебраический смысл: Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю. Это можно выразить общей формулой для любого числа $a$: $a + (-a) = 0$

3. Обозначение: Число, противоположное числу $a$, обозначается как $-a$.

Примеры:

• Для числа $15$ противоположным является число $-15$, так как $15 + (-15) = 0$.
• Для числа $-2.5$ противоположным является число $2.5$, так как $-2.5 + 2.5 = 0$. Это можно записать как $-(-2.5) = 2.5$.
• Для дроби $\frac{3}{8}$ противоположной является дробь $-\frac{3}{8}$.

Особый случай — это число ноль. Ноль является противоположным самому себе, так как он не является ни положительным, ни отрицательным, и $0 = -0$.

Ответ: Противоположные числа — это два числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки (например, $a$ и $-a$). Их сумма всегда равна нулю.

19) Что такое алгебраическое выражение?

19)

Алгебраическое выражение — это осмысленная математическая запись, составленная из чисел (констант), переменных (обозначаемых буквами) и знаков алгебраических операций. К основным операциям относятся сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Ключевыми компонентами алгебраического выражения являются:
- Числа (константы): это фиксированные числовые значения, например: $5, -10, 0.75, \pi$.
- Переменные: это символы (чаще всего буквы, например, $x, y, a, b$), которые используются для обозначения неизвестных или изменяющихся величин.
- Знаки операций: это символы, указывающие, какие действия нужно выполнить над числами и переменными ($+, -, \cdot, /, \sqrt{\phantom{x}}$ и т.д.).

Примером алгебраического выражения является $2x - 3y + 4$. Здесь $2, -3, 4$ — числа; $x, y$ — переменные; а знаки $+, -$ указывают на операции сложения и вычитания.

Важно отличать алгебраическое выражение от уравнения. Уравнение — это равенство двух выражений (например, $5a + 1 = 16$), которое является утверждением. Алгебраическое выражение, такое как $5a + 1$, само по себе ничего не утверждает, а лишь представляет некую величину, зависящую от переменной $a$.

Если подставить в алгебраическое выражение конкретные числовые значения вместо переменных и выполнить все действия, то получится значение алгебраического выражения. Например, если в выражении $a^2 + 2b$ принять $a=3$ и $b=5$, то его значение будет: $3^2 + 2 \cdot 5 = 9 + 10 = 19$.

В зависимости от операций, входящих в их состав, алгебраические выражения можно разделить на виды:
- Целые выражения (не содержат деления на переменную): $3x^2 - 5x + 1$.
- Дробные выражения (содержат деление на переменную): $\frac{x+y}{x-y}$.
- Иррациональные выражения (содержат извлечение корня из переменной): $\sqrt{a} + 7$.

Ответ: Алгебраическое выражение — это запись, состоящая из чисел, переменных и знаков математических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня), которая имеет смысл и представляет собой некоторую математическую величину, зависящую от значений переменных.

20) Вспомните упрощение алгебраических выражений: раскрытие скобок; вынесение множителя за скобки; объединение подобных слагаемых.

Упрощение алгебраических выражений — это процесс их преобразования в более простой, тождественно равный вид. Основные методы упрощения включают раскрытие скобок, вынесение общего множителя за скобки и приведение (объединение) подобных слагаемых. Рассмотрим каждый из этих методов подробнее.

раскрытие скобок

Раскрытие скобок — это преобразование, основанное на распределительном свойстве умножения относительно сложения и вычитания: $a(b+c) = ab+ac$. Чтобы раскрыть скобки, нужно множитель, стоящий перед скобками, умножить на каждое слагаемое внутри скобок. При этом важно следить за знаками.

• Если перед скобкой стоит знак «+», то знаки слагаемых в скобках не меняются: $+(a-b+c) = a-b+c$.
• Если перед скобкой стоит знак «−», то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные: $-(a-b+c) = -a+b-c$.
• При умножении скобки на скобку, например $(a+b)(c+d)$, каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй скобки: $(a+b)(c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$.

Пример 1: Раскрыть скобки в выражении $5(2x - 3y)$.

Решение: Умножим 5 на каждый член в скобках.

$5(2x - 3y) = 5 \cdot 2x + 5 \cdot (-3y) = 10x - 15y$.

Пример 2: Упростить выражение $a - (4a - 5)$.

Решение: Перед скобкой стоит знак «−», поэтому меняем знаки у всех слагаемых внутри скобок.

$a - (4a - 5) = a - 4a + 5 = -3a + 5$.

Пример 3: Раскрыть скобки $(x+3)(y-2)$.

Решение: Умножим каждый член первой скобки на каждый член второй.

$(x+3)(y-2) = x \cdot y + x \cdot (-2) + 3 \cdot y + 3 \cdot (-2) = xy - 2x + 3y - 6$.

Ответ: Раскрытие скобок — это применение распределительного закона для устранения скобок в выражении, что позволяет выполнять дальнейшие упрощения.

вынесение множителя за скобки

Вынесение множителя за скобки — это операция, обратная раскрытию скобок. Она заключается в представлении выражения в виде произведения общего множителя и скобки, в которой остаются слагаемые, полученные делением исходных слагаемых на этот общий множитель. Для этого необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для всех членов выражения.

Алгоритм:

1. Найти НОД коэффициентов всех членов выражения.
2. Найти общие переменные, входящие в каждый член, и выбрать для каждой наименьшую степень.
3. Произведение НОД коэффициентов и общих переменных в наименьших степенях будет общим множителем.
4. Разделить каждый член исходного выражения на общий множитель и записать результат в скобках.

Пример 1: Вынести общий множитель в выражении $12a + 8b$.

Решение: НОД для чисел 12 и 8 равен 4. Общих переменных нет.

$12a + 8b = 4 \cdot 3a + 4 \cdot 2b = 4(3a + 2b)$.

Пример 2: Вынести общий множитель в выражении $7x^3 - 14x^2 + 21x$.

Решение: НОД коэффициентов 7, -14, 21 равен 7. Общая переменная $x$ с наименьшей степенью $x^1$. Общий множитель — $7x$.

$7x^3 - 14x^2 + 21x = 7x(x^2) - 7x(2x) + 7x(3) = 7x(x^2 - 2x + 3)$.

Ответ: Вынесение множителя за скобки — это преобразование суммы в произведение путем нахождения общего для всех слагаемых множителя и его "извлечения" из выражения.

объединение подобных слагаемых

Подобными слагаемыми (или членами) называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть (одни и те же переменные в одних и тех же степенях). Объединение (или приведение) подобных слагаемых — это их сложение или вычитание. При этом складываются или вычитаются их коэффициенты, а буквенная часть остается неизменной. Это действие также основано на распределительном законе: $ax + bx = (a+b)x$.

Алгоритм:

1. Сгруппировать слагаемые с одинаковой буквенной частью.
2. Сложить их коэффициенты.
3. Записать результат — новое слагаемое, где коэффициент — это полученная сумма, а буквенная часть — та же.

Пример 1: Привести подобные слагаемые в выражении $5x + 3y - 2x + 7y$.

Решение: Сгруппируем подобные слагаемые: с $x$ и с $y$.

$(5x - 2x) + (3y + 7y) = (5-2)x + (3+7)y = 3x + 10y$.

Пример 2: Упростить выражение $3(a-2b) - (a+b)$.

Решение: Сначала раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые.

$3(a-2b) - (a+b) = 3a - 6b - a - b = (3a - a) + (-6b - b) = 2a - 7b$.

Ответ: Объединение подобных слагаемых — это упрощение выражения путем сложения или вычитания коэффициентов у членов с одинаковой буквенной частью.

21) Что такое линейное уравнение? Как его решают?

Что такое линейное уравнение?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение, которое можно привести к стандартному виду: $ax = b$

В этом уравнении:

• $x$ — это переменная (или неизвестное), значение которой требуется найти.
• $a$ и $b$ — это некоторые числа, которые называются коэффициентами. Число $a$ является коэффициентом при переменной, а $b$ — свободным членом.

Название "линейное" связано с тем, что график функции $y = ax + b$, тесно связанной с этим уравнением, представляет собой прямую линию. Геометрически, решение уравнения $ax = b$ — это нахождение абсциссы точки пересечения графика функции $y = ax - b$ с осью Ox, или точки пересечения прямых $y=ax$ и $y=b$.

Многие уравнения, которые на первый взгляд не похожи на $ax=b$, являются линейными, так как их можно свести к этому виду с помощью алгебраических преобразований. Например, уравнение $5(x+1) - 2 = 3x + 7$ является линейным, потому что после раскрытия скобок ($5x+5-2=3x+7$), переноса слагаемых ($5x-3x=7-5+2$) и приведения подобных оно принимает вид $2x=4$.

Ответ: Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа.

Как его решают?

Цель решения линейного уравнения — найти все значения переменной $x$ (корни), при которых уравнение обращается в верное числовое равенство, либо установить, что таких значений не существует.

Алгоритм решения обычно состоит из следующих шагов:

1. Упрощение. Если уравнение содержит скобки или дроби, от них избавляются путем раскрытия скобок или умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель.
2. Группировка слагаемых. Все члены, содержащие переменную $x$, переносятся в одну часть уравнения (как правило, в левую), а все числовые члены (свободные члены) — в другую (в правую). Важно помнить, что при переносе члена через знак равенства его знак меняется на противоположный.
3. Приведение подобных. В каждой части уравнения выполняются действия сложения/вычитания, чтобы уравнение приняло канонический вид $ax = b$.

После приведения уравнения к виду $ax=b$ его решение зависит от значений коэффициентов $a$ и $b$:

• Случай 1: $a \neq 0$
  Это самый распространенный случай. Уравнение имеет единственный корень, который находится делением свободного члена $b$ на коэффициент $a$: $x = \frac{b}{a}$
  Пример: $4x = 20$. Здесь $a=4 \neq 0$. Корень: $x = \frac{20}{4} = 5$.
• Случай 2: $a = 0$ и $b \neq 0$
  Уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Это равенство ложно при любом значении $x$, поскольку $0$ не может равняться ненулевому числу $b$. В этом случае говорят, что уравнение не имеет решений (корней).
  Пример: $2x - 5 = 2x + 3 \implies 2x - 2x = 3 + 5 \implies 0 \cdot x = 8$. Решений нет.
• Случай 3: $a = 0$ и $b = 0$
  Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство является верным тождеством при любом значении $x$. В этом случае говорят, что уравнение имеет бесконечно много решений, а его корнем является любое число ($x \in \mathbb{R}$ ).
  Пример: $3(x-1) = 3x - 3 \implies 3x - 3 = 3x - 3 \implies 3x - 3x = -3 + 3 \implies 0 \cdot x = 0$. Корень — любое число.

Ответ: Для решения линейное уравнение приводят к виду $ax=b$. Затем, если $a \neq 0$, корень равен $x = b/a$. Если $a=0$ и $b \neq 0$, решений нет. Если $a=0$ и $b=0$, решением является любое число.

22) Какие виды числовых промежутков вы знаете?

Числовой промежуток — это подмножество множества действительных чисел, которое можно изобразить на числовой прямой. Существуют следующие основные виды числовых промежутков:

Интервал (открытый промежуток)
Это множество всех чисел, расположенных строго между двумя числами a и b. Сами числа a и b, называемые концами интервала, в это множество не включаются. Для обозначения используются круглые скобки.
Обозначение: $(a; b)$
Соответствующее неравенство: $a < x < b$
Пример: Интервал $(-1; 5)$ включает все числа, которые больше -1 и меньше 5, но не сами числа -1 и 5.
Ответ: Интервал $(a; b)$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $a < x < b$.

Отрезок (замкнутый промежуток)
Это множество всех чисел, расположенных между двумя числами a и b, включая сами эти числа. Для обозначения используются квадратные скобки.
Обозначение: $[a; b]$
Соответствующее неравенство: $a \le x \le b$
Пример: Отрезок $[-1; 5]$ включает все числа от -1 до 5, включая сами -1 и 5.
Ответ: Отрезок $[a; b]$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих нестрогому двойному неравенству $a \le x \le b$.

Полуинтервал (полуоткрытый или полузамкнутый промежуток)
Это множество чисел между a и b, где один конец промежутка включается в множество, а другой — нет. Используется комбинация круглой и квадратной скобок.
Существует два вида:
1. Промежуток, замкнутый слева и открытый справа: $[a; b)$, что соответствует неравенству $a \le x < b$.
2. Промежуток, открытый слева и замкнутый справа: $(a; b]$, что соответствует неравенству $a < x \le b$.
Пример: Полуинтервал $[-1; 5)$ включает -1, но не включает 5. Полуинтервал $(-1; 5]$ не включает -1, но включает 5.
Ответ: Полуинтервалы — это промежутки вида $[a; b)$, которому соответствует неравенство $a \le x < b$, и $(a; b]$, которому соответствует неравенство $a < x \le b$.

Числовой луч (бесконечный промежуток)
Это множество всех чисел, которые ограничены только с одной стороны и уходят в бесконечность ($+\infty$ или $-\infty$) в другую. Бесконечность всегда обозначается круглой скобкой, так как не является числом.
Существует четыре вида лучей:
1. Открытый луч: $(a; +\infty)$, что соответствует неравенству $x > a$.
2. Открытый луч: $(-\infty; b)$, что соответствует неравенству $x < b$.
3. Замкнутый луч: $[a; +\infty)$, что соответствует неравенству $x \ge a$.
4. Замкнутый луч: $(-\infty; b]$, что соответствует неравенству $x \le b$.
Ответ: Числовые лучи — это бесконечные промежутки, задаваемые неравенствами $x>a$, $x<b$, $x \ge a$ или $x \le b$. Их обозначения: $(a; +\infty)$, $(-\infty; b)$, $[a; +\infty)$ и $(-\infty; b]$.

Вся числовая прямая
Это множество всех действительных чисел, которое не имеет границ ни слева, ни справа.
Обозначение: $(-\infty; +\infty)$
Соответствующее множество: $\mathbb{R}$ (множество всех действительных чисел).
Ответ: Вся числовая прямая обозначается как $(-\infty; +\infty)$ и представляет собой множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

23) Вспомните решение линейных неравенств с одной переменной.

Решение линейного неравенства с одной переменной — это процесс нахождения всех значений переменной, которые делают это неравенство верным. Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$ или $ax + b \le 0$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $x$ — переменная.

Алгоритм решения

Для решения линейного неравенства необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть все скобки, если они присутствуют в неравенстве.
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну часть неравенства (обычно в левую), а слагаемые без переменной (числа) — в другую часть. Важно помнить, что при переносе слагаемого через знак неравенства его собственный знак меняется на противоположный.
3. Привести подобные слагаемые в каждой части, чтобы неравенство приняло вид $ax > c$ (или с другими знаками: $<, \le, \ge$).
4. Разделить обе части неравенства на коэффициент $a$ при переменной. На этом шаге необходимо следовать главному правилу работы с неравенствами.

Основное правило при решении неравенств

При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число, знак неравенства (>, <, ≥, ≤) сохраняется.

При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (например, знак $>$ меняется на $<$, а знак $\le$ на $\ge$).

Запись ответа

Множество решений неравенства можно представить:

• В виде неравенства, например, $x > 5$.
• В виде числового промежутка, например, $(5; +\infty)$. Для строгих неравенств ($<, >$) используются круглые скобки, а для нестрогих ($\le, \ge$) — квадратные.
• Графически на числовой прямой. Для строгих неравенств точка на оси изображается выколотой (пустой), для нестрогих — закрашенной (сплошной).

Пример 1: Решить неравенство $2x - 9 > 3$.

Перенесем $-9$ в правую часть, поменяв знак:

$2x > 3 + 9$

$2x > 12$

Разделим обе части на коэффициент $2$. Так как $2 > 0$, знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{12}{2}$

$x > 6$

В виде числового промежутка это записывается как $(6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

Пример 2: Решить неравенство $10 - 4x \ge 2$.

Перенесем $10$ в правую часть:

$-4x \ge 2 - 10$

$-4x \ge -8$

Разделим обе части на коэффициент $-4$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства $\ge$ меняется на $\le$:

$x \le \frac{-8}{-4}$

$x \le 2$

В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

Пример 3: Решить неравенство $3(x - 2) < 5x + 4$.

Раскроем скобки:

$3x - 6 < 5x + 4$

Соберем слагаемые с $x$ слева, а числа справа:

$3x - 5x < 4 + 6$

$-2x < 10$

Разделим обе части на $-2$ и поменяем знак неравенства с $<$ на $>$:

$x > \frac{10}{-2}$

$x > -5$

В виде числового промежутка это записывается как $(-5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; +\infty)$.

Особые случаи

Иногда после всех преобразований переменная $x$ сокращается (коэффициент при ней становится равен нулю).

Пример 4: Решить неравенство $4(x - 1) - 4x < 0$.

Раскроем скобки:

$4x - 4 - 4x < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-4 < 0$

Переменная $x$ исчезла, и мы получили верное числовое неравенство ($-4$ действительно меньше $0$). Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Пример 5: Решить неравенство $5x + 3 \le 5(x - 1)$.

Раскроем скобки:

$5x + 3 \le 5x - 5$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$5x - 5x \le -5 - 3$

$0 \cdot x \le -8$

$0 \le -8$

Получилось неверное числовое неравенство ($0$ не меньше и не равен $-8$). Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное неравенство было бы верным.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

24) Что вы понимаете под прямоугольной системой координат на плоскости?

Под прямоугольной (или декартовой) системой координат на плоскости понимают способ определения положения точки на плоскости с помощью двух числовых значений — её координат. Эта система является основой аналитической геометрии, так как она позволяет описывать геометрические фигуры с помощью алгебраических уравнений.

Для задания прямоугольной системы координат необходимо:

1. Выбрать две взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями координат.
   • Горизонтальная ось называется осью абсцисс и обозначается $Ox$.
   • Вертикальная ось называется осью ординат и обозначается $Oy$.
2. Точка пересечения этих осей называется началом координат. Она обозначается буквой $O$ и имеет координаты $(0, 0)$.
3. На каждой оси выбрать положительное направление. Традиционно для оси $Ox$ это направление вправо, а для оси $Oy$ — вверх. Противоположные направления считаются отрицательными.
4. Выбрать единичный отрезок (масштаб) для измерения длин на каждой оси. Как правило, масштаб на обеих осях одинаков.

Определение координат точки

Положение любой точки $M$ на плоскости в этой системе однозначно определяется упорядоченной парой чисел $(x, y)$, где:

• Абсцисса ($x$) — это координата точки на оси $Ox$. Чтобы найти её, из точки $M$ опускают перпендикуляр на ось $Ox$. Абсцисса показывает расстояние от точки до оси $Oy$, взятое со знаком «+», если точка находится справа от оси $Oy$, и со знаком «−», если слева.
• Ордината ($y$) — это координата точки на оси $Oy$. Чтобы найти её, из точки $M$ опускают перпендикуляр на ось $Oy$. Ордината показывает расстояние от точки до оси $Ox$, взятое со знаком «+», если точка находится выше оси $Ox$, и со знаком «−», если ниже.

Координатные четверти (квадранты)

Оси координат делят плоскость на четыре бесконечные области, называемые координатными четвертями или квадрантами. Их нумеруют против часовой стрелки:

• I четверть: $x > 0, y > 0$
• II четверть: $x < 0, y > 0$
• III четверть: $x < 0, y < 0$
• IV четверть: $x > 0, y < 0$

Точки, лежащие непосредственно на осях, не принадлежат ни одной из четвертей.

Ответ: Прямоугольная система координат на плоскости — это система, заданная двумя взаимно перпендикулярными осями ($Ox$ — ось абсцисс и $Oy$ — ось ординат) с общим началом отсчета в точке их пересечения $O$ и одинаковым масштабом. Эта система позволяет установить взаимно однозначное соответствие между каждой точкой плоскости и упорядоченной парой действительных чисел $(x, y)$, называемых её координатами.

25) Что такое функция? Какие способы задания функции вы знаете?

Что такое функция?

Функция (или функциональная зависимость) — это правило, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$.

Множество $X$ называется областью определения функции, а множество всех соответствующих значений $y$ из множества $Y$ образует область значений функции.

Обычно функция обозначается как $y = f(x)$, где:

• $x$ — независимая переменная, или аргумент.
• $y$ — зависимая переменная, или значение функции.
• $f$ — правило (закон) соответствия.

Ключевым свойством функции является то, что каждому значению аргумента $x$ из области определения может соответствовать только одно значение функции $y$.

Ответ: Функция — это правило, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из некоторого множества ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной.

Какие способы задания функции вы знаете?

Существуют следующие основные способы задания функции:

1. Аналитический способ (с помощью формулы).
   Функция задается в виде математической формулы, которая устанавливает, какие вычислительные операции нужно произвести над аргументом $x$, чтобы найти значение функции $y$. Это самый распространенный и точный способ.
   Пример: $y = x^2 + 5$.
   Функция также может быть задана кусочно, то есть разными формулами для разных частей области определения.
   Пример: $f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \le 0 \\ \sin(x), & \text{если } x > 0 \end{cases}$
2. Табличный способ.
   Функция задается с помощью таблицы, где для ряда значений аргумента указываются соответствующие им значения функции. Этот способ часто применяется на практике, например, при записи результатов эксперимента. Его недостаток в том, что он задает функцию не полностью, а только для значений из таблицы.
   Пример: Зависимость температуры воздуха от времени.
   

   Время, ч	0	3	6	9
   Температура, °C	-5	-7	-4	0

3. Графический способ.
   Функция задается с помощью ее графика. Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек координатной плоскости с координатами $(x, f(x))$, где $x$ пробегает всю область определения функции. Этот способ очень нагляден и позволяет визуально определить свойства функции (возрастание, убывание, экстремумы).
   Пример: График параболы для функции $y = x^2$.
4. Словесный способ.
   Правило, задающее соответствие между переменными, описывается словами.
   Пример 1: «Каждому числу $x$ ставится в соответствие его удвоенное значение». Это словесное описание функции $y = 2x$.
   Пример 2: «Функция $f(x)$ равна 1, если $x$ — рациональное число, и 0, если $x$ — иррациональное число» (функция Дирихле).

Ответ: Основные способы задания функции: аналитический (формулой), табличный, графический и словесный.

26) Какая функция называется линейной? Как построить ее график?

Какая функция называется линейной?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

Областью определения линейной функции, то есть множеством всех допустимых значений аргумента $x$, являются все действительные числа.

Коэффициенты $k$ и $b$ имеют конкретный геометрический смысл:

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он показывает угол наклона прямой, являющейся графиком функции, к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox).
  • Если $k > 0$, то функция является возрастающей (прямая "идет вверх" слева направо).
  • Если $k < 0$, то функция является убывающей (прямая "идет вниз" слева направо).
  • Если $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$ и является постоянной. Ее график — прямая, параллельная оси Ox.
• Коэффициент $b$ — это свободный член. Он показывает ординату точки пересечения графика функции с осью ординат (осью Oy). То есть, график пересекает ось Oy в точке с координатами $(0, b)$.

Частным случаем линейной функции при $b=0$ является прямая пропорциональность, задаваемая формулой $y = kx$. График такой функции всегда проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.

Ответ: Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$, где $x$ — переменная, а $k$ и $b$ — числа.

Как построить ее график?

Графиком линейной функции является прямая линия. Из курса геометрии известно, что для построения прямой достаточно знать координаты двух любых ее точек. Следовательно, для построения графика линейной функции $y = kx + b$ нужно выполнить следующий алгоритм:

1. Выбрать два произвольных значения аргумента $x$, например, $x_1$ и $x_2$. Для удобства вычислений часто выбирают простые числа, например, 0 и 1.
2. Подставить эти значения в уравнение функции и вычислить соответствующие значения функции $y_1$ и $y_2$.
   $y_1 = kx_1 + b$
   $y_2 = kx_2 + b$
3. Получить координаты двух точек, принадлежащих графику: $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
4. Отметить эти две точки на координатной плоскости.
5. Провести через эти две точки прямую линию с помощью линейки. Эта прямая и будет являться графиком данной линейной функции.

Пример: Построим график функции $y = 2x - 3$.

1. Возьмем два значения $x$. Пусть $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
2. Найдем соответствующие значения $y$:
   Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получили точку A(0, -3).
   Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$. Получили точку B(3, 3).
3. Отметим точки A(0, -3) и B(3, 3) на координатной плоскости.
4. Проведем через них прямую. Эта прямая — график функции $y = 2x - 3$.

Удобным способом нахождения двух точек является определение точек пересечения графика с осями координат:

• Для нахождения точки пересечения с осью Oy, нужно положить $x = 0$. Получим точку $(0, b)$.
• Для нахождения точки пересечения с осью Ox, нужно положить $y = 0$ и решить уравнение $kx + b = 0$. Получим точку $(-b/k, 0)$ (при $k \neq 0$).

В нашем примере $y = 2x - 3$:

• Пересечение с Oy: $x=0 \implies y = -3$. Точка (0, -3).
• Пересечение с Ox: $y=0 \implies 0 = 2x - 3 \implies 2x=3 \implies x=1.5$. Точка (1.5, 0).

Построив прямую по этим двум точкам, мы получим тот же самый график.

Ответ: Для построения графика линейной функции, являющегося прямой линией, достаточно найти координаты двух любых точек графика, отметить их на координатной плоскости и провести через них прямую.

27) Как построить график линейного уравнения с двумя переменными?

Графиком линейного уравнения с двумя переменными вида $ax + by = c$ (где $a$, $b$, $c$ — числа, а $x$ и $y$ — переменные) является прямая линия. Для построения прямой на координатной плоскости достаточно знать координаты двух любых ее точек. Поэтому, чтобы построить график такого уравнения, необходимо найти два любых его решения, то есть две пары $(x, y)$, которые обращают уравнение в верное равенство.

Алгоритм построения графика

1. Найти координаты первой точки графика. Для этого нужно задать произвольное удобное значение одной переменной (например, $x$) и, подставив его в уравнение, вычислить соответствующее значение другой переменной ($y$). Записать полученные координаты $(x_1, y_1)$. Чаще всего удобно брать $x=0$, что позволяет легко найти точку пересечения с осью $Oy$.
2. Найти координаты второй точки графика. Для этого нужно взять другое произвольное значение одной из переменных (например, $y=0$, чтобы найти точку пересечения с осью $Ox$) и, аналогично первому шагу, вычислить значение второй переменной. Записать полученные координаты $(x_2, y_2)$.
3. Построить на плоскости прямоугольную систему координат (оси $Ox$ и $Oy$).
4. Отметить на координатной плоскости две найденные точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
5. С помощью линейки провести прямую линию через эти две точки. Эта прямая и будет являться графиком данного линейного уравнения.

Пример построения

Рассмотрим уравнение $2x + y = 4$.

• Шаг 1: Найдем первую точку.

  Пусть $x=0$. Подставим это значение в уравнение:

  $2 \cdot (0) + y = 4$

  $0 + y = 4$

  $y = 4$

  Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 4)$.

• Шаг 2: Найдем вторую точку.

  Пусть теперь $y=0$. Подставим это значение в уравнение:

  $2x + 0 = 4$

  $2x = 4$

  $x = 2$

  Таким образом, вторая точка имеет координаты $(2, 0)$.

• Шаг 3: Построение.

  Отметим на координатной плоскости точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$ и проведем через них прямую. Эта прямая является графиком уравнения $2x + y = 4$.

Особые случаи

• Если $b=0$, уравнение принимает вид $ax=c$, или $x = c/a$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси $Oy$. Например, график уравнения $x=3$ — это вертикальная прямая, проходящая через точку $(3,0)$.
• Если $a=0$, уравнение принимает вид $by=c$, или $y = c/b$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси $Ox$. Например, график уравнения $y=-2$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0,-2)$.
• Если $c=0$, уравнение имеет вид $ax+by=0$. График такого уравнения всегда проходит через начало координат, точку $(0,0)$. Поэтому одна точка уже известна. Для нахождения второй точки достаточно выбрать любое ненулевое значение для $x$ или $y$.

Ответ: Чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными, нужно найти координаты двух любых точек, удовлетворяющих этому уравнению, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую линию.