Номер 9, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9) Как определить сумму, разность, произведение и частное обыкновенной дроби с десятичной дробью?

Для выполнения арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) с обыкновенной и десятичной дробями, необходимо привести их к одному виду. Существует два основных подхода:

1. Преобразовать десятичную дробь в обыкновенную. Этот метод является универсальным и всегда дает точный результат. Для этого число из десятичной дроби (без запятой) записывается в числитель, а в знаменатель ставится 1 с таким количеством нулей, сколько знаков было после запятой. Например, $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

2. Преобразовать обыкновенную дробь в десятичную. Этот метод удобен, если обыкновенная дробь легко преобразуется в конечную десятичную дробь. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель. Например, $\frac{2}{5} = 2 \div 5 = 0.4$. Если же в результате деления получается бесконечная периодическая дробь (например, $\frac{1}{3} = 0.333...$), то первый способ (преобразование в обыкновенные дроби) является предпочтительным для сохранения точности.

Рассмотрим применение этих подходов для каждой операции.

Сумма

Чтобы найти сумму, нужно представить обе дроби в одинаковом виде и затем сложить их.

Пример: Найти сумму $\frac{2}{5} + 0.7$.

Способ 1: Приведение к обыкновенным дробям.
Преобразуем $0.7$ в обыкновенную дробь: $0.7 = \frac{7}{10}$.
Теперь сложим дроби, приведя их к общему знаменателю (10):
$\frac{2}{5} + \frac{7}{10} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} + \frac{7}{10} = \frac{4}{10} + \frac{7}{10} = \frac{4+7}{10} = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10}$.

Способ 2: Приведение к десятичным дробям.
Преобразуем $\frac{2}{5}$ в десятичную дробь: $2 \div 5 = 0.4$.
Выполняем сложение десятичных дробей: $0.4 + 0.7 = 1.1$.
Результаты совпадают: $1\frac{1}{10} = 1.1$.

Ответ: чтобы найти сумму обыкновенной и десятичной дроби, нужно преобразовать их к одному виду (обыкновенному или десятичному) и выполнить сложение по правилам для этого вида дробей.

Разность

Действия аналогичны сложению. Дроби приводятся к одному виду, после чего выполняется вычитание.

Пример: Найти разность $\frac{3}{4} - 0.25$.

Способ 1: Приведение к обыкновенным дробям.
Преобразуем $0.25$ в обыкновенную дробь: $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Выполняем вычитание: $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Способ 2: Приведение к десятичным дробям.
Преобразуем $\frac{3}{4}$ в десятичную дробь: $3 \div 4 = 0.75$.
Выполняем вычитание: $0.75 - 0.25 = 0.5$.
Результаты совпадают: $\frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: чтобы найти разность обыкновенной и десятичной дроби, нужно преобразовать их к одному виду (обыкновенному или десятичному) и выполнить вычитание по правилам для этого вида дробей.

Произведение

Для умножения дробей их также необходимо привести к общему виду. Часто удобнее переводить десятичную дробь в обыкновенную, так как это позволяет избежать умножения многозначных десятичных чисел и использовать сокращение дробей.

Пример: Найти произведение $\frac{1}{3} \times 0.6$.

Здесь преобразование $\frac{1}{3}$ в десятичную дробь даст бесконечную дробь $0.(3)$, поэтому работаем с обыкновенными дробями.
Преобразуем $0.6$ в обыкновенную дробь: $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Выполняем умножение: $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1 \times 3}{3 \times 5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Ответ: чтобы найти произведение обыкновенной и десятичной дроби, нужно преобразовать их к одному виду и выполнить умножение. Преобразование в обыкновенные дроби часто является более предпочтительным.

Частное

Как и в предыдущих случаях, дроби приводятся к одному виду. Для деления, как и для умножения, часто удобнее использовать обыкновенные дроби.

Пример: Найти частное $\frac{7}{8} \div 0.5$.

Способ 1: Приведение к обыкновенным дробям.
Преобразуем $0.5$ в обыкновенную дробь: $0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Выполняем деление (умножаем на обратную дробь): $\frac{7}{8} \div \frac{1}{2} = \frac{7}{8} \times \frac{2}{1} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.

Способ 2: Приведение к десятичным дробям.
Преобразуем $\frac{7}{8}$ в десятичную дробь: $7 \div 8 = 0.875$.
Выполняем деление: $0.875 \div 0.5 = 1.75$.
Результаты совпадают: $1\frac{3}{4} = 1.75$.

Ответ: чтобы найти частное обыкновенной и десятичной дроби, нужно преобразовать их к одному виду и выполнить деление. Преобразование в обыкновенные дроби часто упрощает вычисления.