Номер 3, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3) Как определяется сумма, разность, произведение и частное обыкновенных дробей?

Сумма

Для определения суммы обыкновенных дробей необходимо рассмотреть два случая.
1. Если у дробей одинаковые знаменатели, то их сумма равна дроби, числитель которой есть сумма числителей исходных дробей, а знаменатель остается тем же.
Формула: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$.
2. Если у дробей разные знаменатели, то их сначала нужно привести к общему знаменателю. Для этого находят наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Затем числитель и знаменатель каждой дроби умножают на дополнительный множитель (равный частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби). После приведения к общему знаменателю дроби складывают по правилу из пункта 1.
Общая формула для сложения дробей с разными знаменателями: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + bc}{bd}$.

Ответ: Чтобы сложить дроби, их приводят к общему знаменателю, а затем складывают полученные числители, оставляя знаменатель без изменений. Формула: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$.

Разность

Определение разности дробей аналогично определению суммы.
1. Если у дробей одинаковые знаменатели, то их разность равна дроби, числитель которой есть разность числителей исходных дробей (из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемого), а знаменатель остается тем же.
Формула: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$.
2. Если у дробей разные знаменатели, их так же, как и при сложении, приводят к общему знаменателю. Затем из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а знаменатель оставляют общим.
Общая формула для вычитания дробей с разными знаменателями: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad - bc}{bd}$.

Ответ: Чтобы найти разность дробей, их приводят к общему знаменателю, а затем из числителя первой дроби вычитают числитель второй, оставляя знаменатель без изменений. Формула: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}$.

Произведение

Чтобы найти произведение двух обыкновенных дробей, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первое произведение становится числителем новой дроби, а второе — ее знаменателем. Перед умножением полезно, если возможно, сократить числитель одной дроби и знаменатель другой на их общие делители, это упростит вычисления.

Ответ: Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Формула: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

Частное

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую (делимое на делитель), нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Дробь, обратная данной (например, $\frac{c}{d}$), получается путем замены числителя и знаменателя местами (получается $\frac{d}{c}$).

Ответ: Частное двух дробей равно произведению первой дроби на дробь, обратную второй. Формула: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$.