Номер 5, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5) Как определяется сумма, разность, произведение и частное смешанных чисел?

Смешанное число — это число, состоящее из целой и дробной части, например $2\frac{3}{4}$. Чтобы выполнять арифметические операции со смешанными числами, существуют определенные правила для каждой операции.

Сумма

Чтобы найти сумму смешанных чисел, можно использовать один из двух способов:

Способ 1: Сложение целых и дробных частей по отдельности.

1. Сложить целые части чисел.
2. Сложить их дробные части. Если знаменатели разные, их нужно привести к общему знаменателю.
3. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью (числитель больше знаменателя или равен ему), нужно выделить из нее целую часть.
4. Прибавить эту целую часть к сумме целых частей, полученной в первом шаге.

Пример: Найти сумму $3\frac{1}{4}$ и $2\frac{5}{6}$.

1. Складываем целые части: $3 + 2 = 5$.
2. Складываем дробные части, приведя их к общему знаменателю 12: $\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12}$.
3. Дробь $\frac{13}{12}$ — неправильная. Выделяем целую часть: $\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$.
4. Складываем результаты: $5 + 1\frac{1}{12} = 6\frac{1}{12}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби.

1. Каждое смешанное число представить в виде неправильной дроби.
2. Сложить полученные дроби по правилам сложения дробей.
3. Если результат — неправильная дробь, преобразовать его обратно в смешанное число.

Пример: $3\frac{1}{4} + 2\frac{5}{6} = \frac{13}{4} + \frac{17}{6} = \frac{39}{12} + \frac{34}{12} = \frac{73}{12} = 6\frac{1}{12}$.

Ответ: Сумма смешанных чисел находится либо путем раздельного сложения целых и дробных частей (с последующим преобразованием неправильной дроби, если она получилась), либо путем преобразования чисел в неправильные дроби, их сложения и последующего преобразования результата обратно в смешанное число. $3\frac{1}{4} + 2\frac{5}{6} = 6\frac{1}{12}$.

Разность

Вычитание смешанных чисел также можно выполнять двумя способами.

Способ 1: Вычитание целых и дробных частей по отдельности.

1. Вычесть целые части.
2. Вычесть дробные части (приведя к общему знаменателю).
3. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить её в виде дроби с нужным знаменателем и добавить к дробной части.
4. Сложить полученные результаты.

Пример: Найти разность $5\frac{1}{4}$ и $2\frac{3}{4}$.

1. Дробная часть $\frac{1}{4}$ меньше, чем $\frac{3}{4}$. Занимаем 1 у 5.
2. $5\frac{1}{4} = 4 + 1 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}$.
3. Теперь вычитаем: $4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4}$.
4. Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$.
5. Вычитаем дробные части: $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
6. Результат: $2\frac{1}{2}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби.

1. Преобразовать оба числа в неправильные дроби.
2. Выполнить вычитание дробей.
3. Преобразовать результат в смешанное число, если необходимо.

Пример: $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = \frac{21}{4} - \frac{11}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: Разность смешанных чисел определяется либо раздельным вычитанием целых и дробных частей (при необходимости "занимая" единицу у целой части), либо преобразованием чисел в неправильные дроби с последующим вычитанием. $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{1}{2}$.

Произведение

Для нахождения произведения смешанных чисел необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразовать каждое смешанное число в неправильную дробь.
2. Перемножить числители полученных дробей — это будет числитель результата.
3. Перемножить знаменатели — это будет знаменатель результата.
4. Если возможно, сократить полученную дробь.
5. Если результат — неправильная дробь, преобразовать её в смешанное число.

Пример: Найти произведение $2\frac{1}{3}$ и $1\frac{4}{5}$.

1. Преобразуем в неправильные дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$; $1\frac{4}{5} = \frac{9}{5}$.
2. Перемножаем дроби: $\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{5} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 5} = \frac{63}{15}$.
3. Сокращаем дробь (делим числитель и знаменатель на 3): $\frac{63 \div 3}{15 \div 3} = \frac{21}{5}$.
4. Преобразуем в смешанное число: $\frac{21}{5} = 4\frac{1}{5}$.

Ответ: Произведение смешанных чисел находится путем их преобразования в неправильные дроби, перемножения этих дробей и последующего преобразования результата обратно в смешанное число. $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{4}{5} = 4\frac{1}{5}$.

Частное

Для нахождения частного смешанных чисел (деления одного на другое) нужно:

1. Преобразовать делимое и делитель (оба смешанных числа) в неправильные дроби.
2. Деление дробей заменить умножением, "перевернув" вторую дробь (делитель), то есть поменяв местами её числитель и знаменатель.
3. Перемножить полученные дроби.
4. Сократить и, если необходимо, преобразовать результат в смешанное число.

Пример: Найти частное от деления $3\frac{3}{4}$ на $1\frac{1}{2}$.

1. Преобразуем в неправильные дроби: $3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$; $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
2. Выполняем деление: $\frac{15}{4} \div \frac{3}{2}$.
3. Заменяем деление умножением на обратную дробь: $\frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3}$.
4. Перемножаем: $\frac{15 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{30}{12}$.
5. Сокращаем (делим на 6): $\frac{30 \div 6}{12 \div 6} = \frac{5}{2}$.
6. Преобразуем в смешанное число: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: Частное смешанных чисел находится путем их преобразования в неправильные дроби, последующего умножения первой дроби на дробь, обратную второй, и преобразования результата в смешанное число. $3\frac{3}{4} \div 1\frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$.