Номер 6, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6) Какие дроби называются десятичными дробями? Как получить бесконечную периодическую десятичную дробь?

Какие дроби называются десятичными дробями?

Десятичными дробями называют особый вид записи обыкновенных дробей, знаменатель которых представляет собой степень числа 10, то есть $10, 100, 1000, \dots, 10^n$, где $n$ — натуральное число.

Особенность десятичных дробей заключается в их "беззнаменательной" записи. Число записывается в одну строку, где целая часть отделяется от дробной части с помощью запятой (в русскоязычной традиции) или точки. Цифры, стоящие после запятой, называются десятичными знаками.

Например:

• Обыкновенная дробь $\frac{3}{10}$ в десятичной записи выглядит как $0,3$.
• Дробь $\frac{57}{100}$ записывается как $0,57$.
• Смешанное число $2\frac{14}{1000}$ записывается как $2,014$.

Любую обыкновенную дробь $\frac{p}{q}$ можно представить в виде десятичной путем деления числителя $p$ на знаменатель $q$. В результате могут получиться два типа десятичных дробей:

1. Конечные десятичные дроби. Это дроби с конечным числом цифр после запятой. Обыкновенную несократимую дробь можно преобразовать в конечную десятичную только в том случае, если её знаменатель не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5. Например, $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 0,25$.
2. Бесконечные десятичные дроби. Это дроби с бесконечным числом цифр после запятой. Они, в свою очередь, бывают периодическими и непериодическими. Все обыкновенные дроби, которые не переводятся в конечные десятичные, переводятся в бесконечные периодические.

Ответ: Десятичными дробями называют дроби, представленные в позиционной системе счисления с основанием 10, где целая часть отделена от дробной запятой. По сути, это иная форма записи обыкновенных дробей со знаменателем $10^n$.

Как получить бесконечную периодическую десятичную дробь?

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в которой одна или несколько цифр после запятой, называемые периодом, бесконечно повторяются в одной и той же последовательности. Например, $0,333\dots$ или $1,28454545\dots$.

Бесконечную периодическую десятичную дробь получают при преобразовании обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$ в десятичную, если знаменатель $q$ этой несократимой дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

Алгоритм получения такой дроби следующий:

1. Взять обыкновенную дробь, например, $\frac{5}{6}$.
2. Убедиться, что дробь несократима (в данном случае это так).
3. Проанализировать простые множители знаменателя: $6 = 2 \times 3$. Поскольку присутствует множитель 3, дробь будет бесконечной периодической.
4. Разделить числитель на знаменатель "в столбик".

Выполним деление 5 на 6:

$5 \div 6 = 0$.
Добавляем ноль, ставим запятую в частном: $50 \div 6 = 8$ (остаток 2).
К остатку 2 добавляем ноль: $20 \div 6 = 3$ (остаток 2).
К остатку 2 снова добавляем ноль: $20 \div 6 = 3$ (остаток 2).
Мы видим, что остаток 2 начал повторяться, а значит, и цифра 3 в частном будет повторяться бесконечно.

Таким образом, $\frac{5}{6} = 0,8333...$ . Повторяющаяся цифра 3 является периодом. Это записывается как $0,8(3)$.

Еще один пример, дробь $\frac{1}{7}$. Знаменатель 7 — простое число, отличное от 2 и 5. Деление 1 на 7 дает $0,142857142857...$ . Здесь период — это группа цифр $142857$. Запись: $0,(142857)$.

Ответ: Бесконечную периодическую десятичную дробь получают путем деления числителя обыкновенной дроби на ее знаменатель, при условии, что в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители содержатся простые числа, отличные от 2 и 5.