Номер 7, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7) Как перевести обыкновенную дробь в десятичную и, обратно, десятичную дробь в обыкновенную?

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Основной способ перевода обыкновенной дроби в десятичную — это деление ее числителя на знаменатель. Дробная черта эквивалентна знаку деления. В результате такого деления может получиться либо конечная, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

1. Получение конечной десятичной дроби
Если знаменатель несократимой обыкновенной дроби при разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5, то такую дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Это можно сделать двумя способами:

• Разделить числитель на знаменатель "столбиком".
• Привести дробь к знаменателю, равному степени десяти (10, 100, 1000 и т.д.), домножив числитель и знаменатель на соответствующее число.

Пример: Перевести дробь $\frac{3}{4}$ в десятичную.
Способ 1 (деление): $3 \div 4 = 0.75$.
Способ 2 (приведение знаменателя): Знаменатель $4 = 2^2$. Чтобы получить в знаменателе $100$ ($10^2$), нужно домножить на $5^2 = 25$.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75$

2. Получение бесконечной периодической десятичной дроби
Если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители присутствуют любые другие числа, кроме 2 и 5 (например, 3, 7, 11), то при делении числителя на знаменатель получится бесконечная периодическая дробь.

Пример: Перевести дробь $\frac{5}{6}$ в десятичную.
Знаменатель $6 = 2 \times 3$. Наличие множителя 3 указывает на то, что дробь будет периодической. Разделим 5 на 6 столбиком: $5 \div 6 = 0.8333...$
Повторяющаяся цифра (3) называется периодом дроби и записывается в скобках: $0.8(3)$.

Ответ: Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, необходимо разделить ее числитель на знаменатель.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Способ перевода зависит от вида десятичной дроби: конечная она или бесконечная периодическая.

1. Перевод конечной десятичной дроби
Чтобы преобразовать конечную десятичную дробь в обыкновенную (или смешанное число), следуйте алгоритму:

1. В числитель будущей дроби запишите все цифры десятичной дроби, убрав запятую.
2. В знаменатель запишите единицу и столько нулей, сколько цифр было после запятой в исходной дроби.
3. Если у исходной дроби была целая часть, то можно записать ее отдельно, а в числитель поставить только дробную часть. В итоге получится смешанное число.
4. Полученную обыкновенную дробь сократите, если это возможно.

Пример 1: Перевести $0.68$ в обыкновенную дробь.
$0.68 = \frac{68}{100}$. Сокращаем дробь на 4: $\frac{68 \div 4}{100 \div 4} = \frac{17}{25}$.

Пример 2: Перевести $5.4$ в смешанное число.
Целая часть равна 5. Дробная часть $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Следовательно, $5.4 = 5\frac{2}{5}$.

2. Перевод бесконечной периодической десятичной дроби

А) Чистая периодическая дробь (период идет сразу после запятой).
Правило: в числитель дроби записывается число, составляющее период, а в знаменатель — столько цифр 9, сколько цифр в периоде.
Пример: $0.(21) = \frac{21}{99}$. Сокращаем на 3: $\frac{21 \div 3}{99 \div 3} = \frac{7}{33}$.

Б) Смешанная периодическая дробь (между запятой и периодом есть цифры).
Правило:

• Числитель: из числа, стоящего после запятой (включая первый период), вычесть число, стоящее до периода.
• Знаменатель: записать столько девяток, сколько цифр в периоде, а затем дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом.

Пример: Перевести $0.12(5)$ в обыкновенную дробь.
Числитель: $125 - 12 = 113$.
Знаменатель: в периоде одна цифра (5) — значит, одна 9. Между запятой и периодом две цифры (12) — значит, два 0. Получаем знаменатель 900.
$0.12(5) = \frac{113}{900}$. Дробь несократимая.

Ответ: Для перевода конечной десятичной дроби ее записывают в виде дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д., а затем сокращают. Для перевода периодической дроби используются специальные правила, где в знаменателе ставятся девятки (по числу цифр в периоде) и нули (по числу цифр до периода).