Номер 14, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14) Что такое пропорция? Какими свойствами она обладает?

Что такое пропорция?

Пропорция — это равенство двух отношений. Если даны два отношения $a:b$ и $c:d$, то их равенство $a:b = c:d$ или, что то же самое, в виде дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ называется пропорцией (при условии, что $b \neq 0$ и $d \neq 0$).

Числа $a$ и $d$ называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ — средними членами пропорции.

Читается пропорция так: «$a$ относится к $b$ так же, как $c$ относится к $d$».

Например, равенство $1:2 = 4:8$ или $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ — это верная пропорция, так как значение обоих отношений равно $0.5$. В этой пропорции числа $1$ и $8$ являются крайними членами, а числа $2$ и $4$ — средними.

Ответ: Пропорция — это равенство двух отношений, которое можно записать в виде $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Какими свойствами она обладает?

Пропорция обладает несколькими важными свойствами, которые используются для решения различных математических задач. Главным из них является основное свойство пропорции.

1. Основное свойство пропорции.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это свойство записывается формулой: $a \cdot d = b \cdot c$.
Это свойство позволяет, например, находить неизвестный член пропорции. Если нам нужно найти $x$ в пропорции $\frac{x}{5} = \frac{6}{15}$, мы можем записать $x \cdot 15 = 5 \cdot 6$, откуда $15x = 30$ и $x = 2$.

2. Свойства перестановки членов пропорции.
Если пропорция $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ верна, то верны и следующие пропорции, полученные из неё путем перестановки членов:
- Перестановка средних членов: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.
- Перестановка крайних членов: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$.
- Обращение пропорции (замена каждого отношения обратным ему): $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$.

3. Свойства производных пропорций.
Из верной пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ можно получить новые верные пропорции путем сложения или вычитания её членов:
- $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$
- $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$
- $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
Эти свойства особенно полезны в геометрии, например, при работе с подобными фигурами.

Ответ: Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение её крайних членов равно произведению средних ($a \cdot d = b \cdot c$). Другие свойства включают возможность переставлять средние или крайние члены, обращать пропорцию, а также образовывать производные пропорции путем сложения и вычитания ее членов.