Номер 20, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

20) Вспомните упрощение алгебраических выражений: раскрытие скобок; вынесение множителя за скобки; объединение подобных слагаемых.

Упрощение алгебраических выражений — это процесс их преобразования в более простой, тождественно равный вид. Основные методы упрощения включают раскрытие скобок, вынесение общего множителя за скобки и приведение (объединение) подобных слагаемых. Рассмотрим каждый из этих методов подробнее.

раскрытие скобок

Раскрытие скобок — это преобразование, основанное на распределительном свойстве умножения относительно сложения и вычитания: $a(b+c) = ab+ac$. Чтобы раскрыть скобки, нужно множитель, стоящий перед скобками, умножить на каждое слагаемое внутри скобок. При этом важно следить за знаками.

• Если перед скобкой стоит знак «+», то знаки слагаемых в скобках не меняются: $+(a-b+c) = a-b+c$.
• Если перед скобкой стоит знак «−», то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные: $-(a-b+c) = -a+b-c$.
• При умножении скобки на скобку, например $(a+b)(c+d)$, каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй скобки: $(a+b)(c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$.

Пример 1: Раскрыть скобки в выражении $5(2x - 3y)$.

Решение: Умножим 5 на каждый член в скобках.

$5(2x - 3y) = 5 \cdot 2x + 5 \cdot (-3y) = 10x - 15y$.

Пример 2: Упростить выражение $a - (4a - 5)$.

Решение: Перед скобкой стоит знак «−», поэтому меняем знаки у всех слагаемых внутри скобок.

$a - (4a - 5) = a - 4a + 5 = -3a + 5$.

Пример 3: Раскрыть скобки $(x+3)(y-2)$.

Решение: Умножим каждый член первой скобки на каждый член второй.

$(x+3)(y-2) = x \cdot y + x \cdot (-2) + 3 \cdot y + 3 \cdot (-2) = xy - 2x + 3y - 6$.

Ответ: Раскрытие скобок — это применение распределительного закона для устранения скобок в выражении, что позволяет выполнять дальнейшие упрощения.

вынесение множителя за скобки

Вынесение множителя за скобки — это операция, обратная раскрытию скобок. Она заключается в представлении выражения в виде произведения общего множителя и скобки, в которой остаются слагаемые, полученные делением исходных слагаемых на этот общий множитель. Для этого необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для всех членов выражения.

Алгоритм:

1. Найти НОД коэффициентов всех членов выражения.
2. Найти общие переменные, входящие в каждый член, и выбрать для каждой наименьшую степень.
3. Произведение НОД коэффициентов и общих переменных в наименьших степенях будет общим множителем.
4. Разделить каждый член исходного выражения на общий множитель и записать результат в скобках.

Пример 1: Вынести общий множитель в выражении $12a + 8b$.

Решение: НОД для чисел 12 и 8 равен 4. Общих переменных нет.

$12a + 8b = 4 \cdot 3a + 4 \cdot 2b = 4(3a + 2b)$.

Пример 2: Вынести общий множитель в выражении $7x^3 - 14x^2 + 21x$.

Решение: НОД коэффициентов 7, -14, 21 равен 7. Общая переменная $x$ с наименьшей степенью $x^1$. Общий множитель — $7x$.

$7x^3 - 14x^2 + 21x = 7x(x^2) - 7x(2x) + 7x(3) = 7x(x^2 - 2x + 3)$.

Ответ: Вынесение множителя за скобки — это преобразование суммы в произведение путем нахождения общего для всех слагаемых множителя и его "извлечения" из выражения.

объединение подобных слагаемых

Подобными слагаемыми (или членами) называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть (одни и те же переменные в одних и тех же степенях). Объединение (или приведение) подобных слагаемых — это их сложение или вычитание. При этом складываются или вычитаются их коэффициенты, а буквенная часть остается неизменной. Это действие также основано на распределительном законе: $ax + bx = (a+b)x$.

Алгоритм:

1. Сгруппировать слагаемые с одинаковой буквенной частью.
2. Сложить их коэффициенты.
3. Записать результат — новое слагаемое, где коэффициент — это полученная сумма, а буквенная часть — та же.

Пример 1: Привести подобные слагаемые в выражении $5x + 3y - 2x + 7y$.

Решение: Сгруппируем подобные слагаемые: с $x$ и с $y$.

$(5x - 2x) + (3y + 7y) = (5-2)x + (3+7)y = 3x + 10y$.

Пример 2: Упростить выражение $3(a-2b) - (a+b)$.

Решение: Сначала раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые.

$3(a-2b) - (a+b) = 3a - 6b - a - b = (3a - a) + (-6b - b) = 2a - 7b$.

Ответ: Объединение подобных слагаемых — это упрощение выражения путем сложения или вычитания коэффициентов у членов с одинаковой буквенной частью.