Номер 27, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

27) Как построить график линейного уравнения с двумя переменными?

Графиком линейного уравнения с двумя переменными вида $ax + by = c$ (где $a$, $b$, $c$ — числа, а $x$ и $y$ — переменные) является прямая линия. Для построения прямой на координатной плоскости достаточно знать координаты двух любых ее точек. Поэтому, чтобы построить график такого уравнения, необходимо найти два любых его решения, то есть две пары $(x, y)$, которые обращают уравнение в верное равенство.

Алгоритм построения графика

1. Найти координаты первой точки графика. Для этого нужно задать произвольное удобное значение одной переменной (например, $x$) и, подставив его в уравнение, вычислить соответствующее значение другой переменной ($y$). Записать полученные координаты $(x_1, y_1)$. Чаще всего удобно брать $x=0$, что позволяет легко найти точку пересечения с осью $Oy$.
2. Найти координаты второй точки графика. Для этого нужно взять другое произвольное значение одной из переменных (например, $y=0$, чтобы найти точку пересечения с осью $Ox$) и, аналогично первому шагу, вычислить значение второй переменной. Записать полученные координаты $(x_2, y_2)$.
3. Построить на плоскости прямоугольную систему координат (оси $Ox$ и $Oy$).
4. Отметить на координатной плоскости две найденные точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
5. С помощью линейки провести прямую линию через эти две точки. Эта прямая и будет являться графиком данного линейного уравнения.

Пример построения

Рассмотрим уравнение $2x + y = 4$.

• Шаг 1: Найдем первую точку.

  Пусть $x=0$. Подставим это значение в уравнение:

  $2 \cdot (0) + y = 4$

  $0 + y = 4$

  $y = 4$

  Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 4)$.

• Шаг 2: Найдем вторую точку.

  Пусть теперь $y=0$. Подставим это значение в уравнение:

  $2x + 0 = 4$

  $2x = 4$

  $x = 2$

  Таким образом, вторая точка имеет координаты $(2, 0)$.

• Шаг 3: Построение.

  Отметим на координатной плоскости точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$ и проведем через них прямую. Эта прямая является графиком уравнения $2x + y = 4$.

Особые случаи

• Если $b=0$, уравнение принимает вид $ax=c$, или $x = c/a$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси $Oy$. Например, график уравнения $x=3$ — это вертикальная прямая, проходящая через точку $(3,0)$.
• Если $a=0$, уравнение принимает вид $by=c$, или $y = c/b$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси $Ox$. Например, график уравнения $y=-2$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0,-2)$.
• Если $c=0$, уравнение имеет вид $ax+by=0$. График такого уравнения всегда проходит через начало координат, точку $(0,0)$. Поэтому одна точка уже известна. Для нахождения второй точки достаточно выбрать любое ненулевое значение для $x$ или $y$.

Ответ: Чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными, нужно найти координаты двух любых точек, удовлетворяющих этому уравнению, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую линию.