Номер 26, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26) Какая функция называется линейной? Как построить ее график?

Какая функция называется линейной?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

Областью определения линейной функции, то есть множеством всех допустимых значений аргумента $x$, являются все действительные числа.

Коэффициенты $k$ и $b$ имеют конкретный геометрический смысл:

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он показывает угол наклона прямой, являющейся графиком функции, к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox).
  • Если $k > 0$, то функция является возрастающей (прямая "идет вверх" слева направо).
  • Если $k < 0$, то функция является убывающей (прямая "идет вниз" слева направо).
  • Если $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$ и является постоянной. Ее график — прямая, параллельная оси Ox.
• Коэффициент $b$ — это свободный член. Он показывает ординату точки пересечения графика функции с осью ординат (осью Oy). То есть, график пересекает ось Oy в точке с координатами $(0, b)$.

Частным случаем линейной функции при $b=0$ является прямая пропорциональность, задаваемая формулой $y = kx$. График такой функции всегда проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.

Ответ: Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$, где $x$ — переменная, а $k$ и $b$ — числа.

Как построить ее график?

Графиком линейной функции является прямая линия. Из курса геометрии известно, что для построения прямой достаточно знать координаты двух любых ее точек. Следовательно, для построения графика линейной функции $y = kx + b$ нужно выполнить следующий алгоритм:

1. Выбрать два произвольных значения аргумента $x$, например, $x_1$ и $x_2$. Для удобства вычислений часто выбирают простые числа, например, 0 и 1.
2. Подставить эти значения в уравнение функции и вычислить соответствующие значения функции $y_1$ и $y_2$.
   $y_1 = kx_1 + b$
   $y_2 = kx_2 + b$
3. Получить координаты двух точек, принадлежащих графику: $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
4. Отметить эти две точки на координатной плоскости.
5. Провести через эти две точки прямую линию с помощью линейки. Эта прямая и будет являться графиком данной линейной функции.

Пример: Построим график функции $y = 2x - 3$.

1. Возьмем два значения $x$. Пусть $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
2. Найдем соответствующие значения $y$:
   Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получили точку A(0, -3).
   Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$. Получили точку B(3, 3).
3. Отметим точки A(0, -3) и B(3, 3) на координатной плоскости.
4. Проведем через них прямую. Эта прямая — график функции $y = 2x - 3$.

Удобным способом нахождения двух точек является определение точек пересечения графика с осями координат:

• Для нахождения точки пересечения с осью Oy, нужно положить $x = 0$. Получим точку $(0, b)$.
• Для нахождения точки пересечения с осью Ox, нужно положить $y = 0$ и решить уравнение $kx + b = 0$. Получим точку $(-b/k, 0)$ (при $k \neq 0$).

В нашем примере $y = 2x - 3$:

• Пересечение с Oy: $x=0 \implies y = -3$. Точка (0, -3).
• Пересечение с Ox: $y=0 \implies 0 = 2x - 3 \implies 2x=3 \implies x=1.5$. Точка (1.5, 0).

Построив прямую по этим двум точкам, мы получим тот же самый график.

Ответ: Для построения графика линейной функции, являющегося прямой линией, достаточно найти координаты двух любых точек графика, отметить их на координатной плоскости и провести через них прямую.