Номер 21, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21) Что такое линейное уравнение? Как его решают?

Что такое линейное уравнение?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение, которое можно привести к стандартному виду: $ax = b$

В этом уравнении:

• $x$ — это переменная (или неизвестное), значение которой требуется найти.
• $a$ и $b$ — это некоторые числа, которые называются коэффициентами. Число $a$ является коэффициентом при переменной, а $b$ — свободным членом.

Название "линейное" связано с тем, что график функции $y = ax + b$, тесно связанной с этим уравнением, представляет собой прямую линию. Геометрически, решение уравнения $ax = b$ — это нахождение абсциссы точки пересечения графика функции $y = ax - b$ с осью Ox, или точки пересечения прямых $y=ax$ и $y=b$.

Многие уравнения, которые на первый взгляд не похожи на $ax=b$, являются линейными, так как их можно свести к этому виду с помощью алгебраических преобразований. Например, уравнение $5(x+1) - 2 = 3x + 7$ является линейным, потому что после раскрытия скобок ($5x+5-2=3x+7$), переноса слагаемых ($5x-3x=7-5+2$) и приведения подобных оно принимает вид $2x=4$.

Ответ: Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа.

Как его решают?

Цель решения линейного уравнения — найти все значения переменной $x$ (корни), при которых уравнение обращается в верное числовое равенство, либо установить, что таких значений не существует.

Алгоритм решения обычно состоит из следующих шагов:

1. Упрощение. Если уравнение содержит скобки или дроби, от них избавляются путем раскрытия скобок или умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель.
2. Группировка слагаемых. Все члены, содержащие переменную $x$, переносятся в одну часть уравнения (как правило, в левую), а все числовые члены (свободные члены) — в другую (в правую). Важно помнить, что при переносе члена через знак равенства его знак меняется на противоположный.
3. Приведение подобных. В каждой части уравнения выполняются действия сложения/вычитания, чтобы уравнение приняло канонический вид $ax = b$.

После приведения уравнения к виду $ax=b$ его решение зависит от значений коэффициентов $a$ и $b$:

• Случай 1: $a \neq 0$
  Это самый распространенный случай. Уравнение имеет единственный корень, который находится делением свободного члена $b$ на коэффициент $a$: $x = \frac{b}{a}$
  Пример: $4x = 20$. Здесь $a=4 \neq 0$. Корень: $x = \frac{20}{4} = 5$.
• Случай 2: $a = 0$ и $b \neq 0$
  Уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Это равенство ложно при любом значении $x$, поскольку $0$ не может равняться ненулевому числу $b$. В этом случае говорят, что уравнение не имеет решений (корней).
  Пример: $2x - 5 = 2x + 3 \implies 2x - 2x = 3 + 5 \implies 0 \cdot x = 8$. Решений нет.
• Случай 3: $a = 0$ и $b = 0$
  Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство является верным тождеством при любом значении $x$. В этом случае говорят, что уравнение имеет бесконечно много решений, а его корнем является любое число ($x \in \mathbb{R}$ ).
  Пример: $3(x-1) = 3x - 3 \implies 3x - 3 = 3x - 3 \implies 3x - 3x = -3 + 3 \implies 0 \cdot x = 0$. Корень — любое число.

Ответ: Для решения линейное уравнение приводят к виду $ax=b$. Затем, если $a \neq 0$, корень равен $x = b/a$. Если $a=0$ и $b \neq 0$, решений нет. Если $a=0$ и $b=0$, решением является любое число.