Номер 23, страница 4 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

23) Вспомните решение линейных неравенств с одной переменной.

Решение линейного неравенства с одной переменной — это процесс нахождения всех значений переменной, которые делают это неравенство верным. Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$ или $ax + b \le 0$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $x$ — переменная.

Алгоритм решения

Для решения линейного неравенства необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть все скобки, если они присутствуют в неравенстве.
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну часть неравенства (обычно в левую), а слагаемые без переменной (числа) — в другую часть. Важно помнить, что при переносе слагаемого через знак неравенства его собственный знак меняется на противоположный.
3. Привести подобные слагаемые в каждой части, чтобы неравенство приняло вид $ax > c$ (или с другими знаками: $<, \le, \ge$).
4. Разделить обе части неравенства на коэффициент $a$ при переменной. На этом шаге необходимо следовать главному правилу работы с неравенствами.

Основное правило при решении неравенств

При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число, знак неравенства (>, <, ≥, ≤) сохраняется.

При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (например, знак $>$ меняется на $<$, а знак $\le$ на $\ge$).

Запись ответа

Множество решений неравенства можно представить:

• В виде неравенства, например, $x > 5$.
• В виде числового промежутка, например, $(5; +\infty)$. Для строгих неравенств ($<, >$) используются круглые скобки, а для нестрогих ($\le, \ge$) — квадратные.
• Графически на числовой прямой. Для строгих неравенств точка на оси изображается выколотой (пустой), для нестрогих — закрашенной (сплошной).

Пример 1: Решить неравенство $2x - 9 > 3$.

Перенесем $-9$ в правую часть, поменяв знак:

$2x > 3 + 9$

$2x > 12$

Разделим обе части на коэффициент $2$. Так как $2 > 0$, знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{12}{2}$

$x > 6$

В виде числового промежутка это записывается как $(6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

Пример 2: Решить неравенство $10 - 4x \ge 2$.

Перенесем $10$ в правую часть:

$-4x \ge 2 - 10$

$-4x \ge -8$

Разделим обе части на коэффициент $-4$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства $\ge$ меняется на $\le$:

$x \le \frac{-8}{-4}$

$x \le 2$

В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

Пример 3: Решить неравенство $3(x - 2) < 5x + 4$.

Раскроем скобки:

$3x - 6 < 5x + 4$

Соберем слагаемые с $x$ слева, а числа справа:

$3x - 5x < 4 + 6$

$-2x < 10$

Разделим обе части на $-2$ и поменяем знак неравенства с $<$ на $>$:

$x > \frac{10}{-2}$

$x > -5$

В виде числового промежутка это записывается как $(-5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; +\infty)$.

Особые случаи

Иногда после всех преобразований переменная $x$ сокращается (коэффициент при ней становится равен нулю).

Пример 4: Решить неравенство $4(x - 1) - 4x < 0$.

Раскроем скобки:

$4x - 4 - 4x < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-4 < 0$

Переменная $x$ исчезла, и мы получили верное числовое неравенство ($-4$ действительно меньше $0$). Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Пример 5: Решить неравенство $5x + 3 \le 5(x - 1)$.

Раскроем скобки:

$5x + 3 \le 5x - 5$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$5x - 5x \le -5 - 3$

$0 \cdot x \le -8$

$0 \le -8$

Получилось неверное числовое неравенство ($0$ не меньше и не равен $-8$). Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное неравенство было бы верным.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).