Страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.18. Сумма двух чисел равна 45, одно из них относится к другому как $7:8$. Найдите эти числа.

0.18.

Пусть два искомых числа будут a и b.
Согласно условию задачи, их сумма равна 45. Это можно записать в виде уравнения:
$a + b = 45$

Также известно, что эти числа относятся друг к другу как 7:8. Это означает, что их отношение можно записать как пропорцию:
$\frac{a}{b} = \frac{7}{8}$

Для решения таких задач удобно ввести коэффициент пропорциональности, обозначим его как k. Тогда, исходя из отношения, числа можно представить в следующем виде:
$a = 7k$
$b = 8k$

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение (уравнение суммы):
$7k + 8k = 45$

Сложим слагаемые с коэффициентом k в левой части уравнения:
$15k = 45$

Найдем значение коэффициента k, разделив обе части уравнения на 15:
$k = \frac{45}{15}$
$k = 3$

Теперь, зная значение k, мы можем найти искомые числа a и b:
Первое число: $a = 7k = 7 \cdot 3 = 21$
Второе число: $b = 8k = 8 \cdot 3 = 24$

Проверим, соответствуют ли найденные числа условиям задачи:
1. Сумма чисел: $21 + 24 = 45$. Условие выполнено.
2. Отношение чисел: $\frac{21}{24} = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 8} = \frac{7}{8}$. Условие выполнено.

Ответ: 21 и 24.

0.19. Сумма длин трех отрезков равна 35 см. Длина одного из отрезков в 4 раза меньше длины другого отрезка и на 1 см больше длины третьего отрезка. Найдите длину каждого отрезка.

Для решения этой задачи обозначим длину одного из отрезков (того, который сравнивается с двумя другими) через переменную $x$. Пусть его длина равна $x$ см.

Исходя из условия задачи:

• Длина этого отрезка в 4 раза меньше длины другого. Это значит, что другой (второй) отрезок в 4 раза длиннее. Его длина составляет $4 \cdot x = 4x$ см.
• Длина этого же отрезка на 1 см больше длины третьего. Это значит, что третий отрезок на 1 см короче. Его длина составляет $(x - 1)$ см.

Сумма длин всех трех отрезков равна 35 см. Мы можем составить и решить уравнение, сложив выражения для длин каждого из трех отрезков:

$x + 4x + (x - 1) = 35$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$6x - 1 = 35$

Перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$6x = 35 + 1$

$6x = 36$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 6:

$x = \frac{36}{6}$

$x = 6$

Таким образом, мы нашли длину первого отрезка — она равна 6 см.

Теперь найдем длины двух других отрезков:

• Длина второго отрезка: $4x = 4 \cdot 6 = 24$ см.
• Длина третьего отрезка: $x - 1 = 6 - 1 = 5$ см.

Проверим полученный результат, сложив длины всех отрезков: $6 \text{ см} + 24 \text{ см} + 5 \text{ см} = 35 \text{ см}$. Сумма верна.

Ответ: длины отрезков равны 6 см, 24 см и 5 см.

0.20. Сумма в 525 тг выплачена пятитенговыми и десятитенговыми монетами, количество каждой монеты поровну. Сколько пятитенговых и десятитенговых монет было выплачено?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество пятитенговых монет. По условию, количество десятитенговых монет такое же, то есть их тоже $x$.

Сумма, составленная из пятитенговых монет, будет равна $5 \cdot x$ тенге.

Сумма, составленная из десятитенговых монет, будет равна $10 \cdot x$ тенге.

Общая сумма всех монет составляет 525 тенге. Исходя из этого, мы можем составить следующее уравнение:

$5x + 10x = 525$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть:

$15x = 525$

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на 15:

$x = \frac{525}{15}$

$x = 35$

Таким образом, количество пятитенговых монет равно 35, и количество десятитенговых монет также равно 35.

Проверка:
Найдем общую сумму, чтобы убедиться в правильности решения:
$(35 \cdot 5) + (35 \cdot 10) = 175 + 350 = 525$ тенге.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: было выплачено 35 пятитенговых и 35 десятитенговых монет.

0.21. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств с двумя переменными:

1) $\begin{cases} 5x - y \le 4 \\ 0.5x + y \le 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - y < 3 \\ 2x + y < 6 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x - 5y < -10 \\ x + y > 9 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 4x + 3y + 12 \ge 0 \\ 3y - x - 6 \ge 0 \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 5x - y \le 4 \\ 0,5x + y \le 0 \end{cases} $

Для того чтобы изобразить множество решений, необходимо для каждого неравенства построить граничную прямую и определить, какая из двух полуплоскостей является решением.

1. Первое неравенство: $5x - y \le 4$. Выразим $y$:
$-y \le -5x + 4$
$y \ge 5x - 4$
Граничная прямая: $y = 5x - 4$. Поскольку неравенство нестрогое ($ \ge $), прямая будет сплошной. Решением является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая саму прямую. Для построения прямой найдем две точки: если $x=0$, то $y=-4$; если $x=1$, то $y=1$.

2. Второе неравенство: $0,5x + y \le 0$. Выразим $y$:
$y \le -0,5x$
Граничная прямая: $y = -0,5x$. Прямая также сплошная, так как неравенство нестрогое ($ \le $). Решением является полуплоскость, расположенная ниже этой прямой, включая саму прямую. Точки для построения: (0, 0) и (2, -1).

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. На координатной плоскости это будет область, заключенная между двумя сплошными лучами, исходящими из точки их пересечения.

Ответ: Множество решений — это угловая область, ограниченная сверху сплошной прямой $y = -0,5x$ и снизу сплошной прямой $y = 5x - 4$, включая обе прямые.

2)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 2x - y < 3 \\ 2x + y < 6 \end{cases} $

1. Первое неравенство: $2x - y < 3$. Выразим $y$:
$-y < -2x + 3$
$y > 2x - 3$
Граничная прямая: $y = 2x - 3$. Неравенство строгое ($ > $), поэтому прямая будет пунктирной. Решением является полуплоскость выше этой прямой. Точки для построения: (0, -3) и (1.5, 0).

2. Второе неравенство: $2x + y < 6$. Выразим $y$:
$y < -2x + 6$
Граничная прямая: $y = -2x + 6$. Прямая также пунктирная из-за строгого неравенства ($ < $). Решением является полуплоскость ниже этой прямой. Точки для построения: (0, 6) и (3, 0).

Решением системы является пересечение этих двух открытых полуплоскостей (областей, не включающих свои границы).

Ответ: Множество решений — это открытая угловая область, расположенная между пунктирными прямыми $y = 2x - 3$ и $y = -2x + 6$.

3)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3x - 5y < -10 \\ x + y > 9 \end{cases} $

1. Первое неравенство: $3x - 5y < -10$. Выразим $y$:
$-5y < -3x - 10$
$5y > 3x + 10$
$y > \frac{3}{5}x + 2$
Граничная прямая: $y = \frac{3}{5}x + 2$. Прямая пунктирная ($ > $). Решением является полуплоскость выше прямой. Точки для построения: (0, 2) и (5, 5).

2. Второе неравенство: $x + y > 9$. Выразим $y$:
$y > -x + 9$
Граничная прямая: $y = -x + 9$. Прямая пунктирная ($ > $). Решением является полуплоскость выше прямой. Точки для построения: (0, 9) и (9, 0).

Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть множество точек, которые лежат одновременно выше обеих прямых.

Ответ: Множество решений — это открытая область, расположенная над ломаной линией, образованной частями пунктирных прямых $y = -x + 9$ (левее точки их пересечения) и $y = \frac{3}{5}x + 2$ (правее точки их пересечения).

4)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 4x + 3y + 12 \ge 0 \\ 3y - x - 6 \ge 0 \end{cases} $

1. Первое неравенство: $4x + 3y + 12 \ge 0$. Выразим $y$:
$3y \ge -4x - 12$
$y \ge -\frac{4}{3}x - 4$
Граничная прямая: $y = -\frac{4}{3}x - 4$. Прямая сплошная ($ \ge $). Решением является полуплоскость выше прямой, включая саму прямую. Точки для построения: (0, -4) и (-3, 0).

2. Второе неравенство: $3y - x - 6 \ge 0$. Выразим $y$:
$3y \ge x + 6$
$y \ge \frac{1}{3}x + 2$
Граничная прямая: $y = \frac{1}{3}x + 2$. Прямая сплошная ($ \ge $). Решением является полуплоскость выше прямой, включая саму прямую. Точки для построения: (0, 2) и (-6, 0).

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей — область, находящаяся одновременно выше обеих прямых.

Ответ: Множество решений — это замкнутая область, расположенная над ломаной линией, образованной частями сплошных прямых $y = -\frac{4}{3}x - 4$ и $y = \frac{1}{3}x + 2$.

0.22. Решите уравнение относительно переменной x:

1) $$(5x - 3a) - (2x + 5a) = 4a;$$

2) $$(x + a) + (x + 2a) - (x - 3a) = 8a;$$

3) $$\left(\frac{3}{4}x - \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{2}{3}x + 0,6\right) - \left(\frac{7}{12}x - 0,3\right) = 5,8;$$

4) $$(x - a - b) + (2x + 3a + b) = (2a - b) - (2a - 5b).$$

1) Раскроем скобки в уравнении $(5x - 3a) - (2x + 5a) = 4a$. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки внутри нее меняются на противоположные:

$5x - 3a - 2x - 5a = 4a$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а слагаемые с параметром $a$ перенесем в правую часть:

$5x - 2x = 4a + 3a + 5a$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$3x = 12a$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{12a}{3}$

$x = 4a$

Ответ: $x = 4a$

2) Раскроем скобки в уравнении $(x + a) + (x + 2a) - (x - 3a) = 8a$:

$x + a + x + 2a - x + 3a = 8a$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Сначала для переменной $x$:

$x + x - x = x$

Теперь для параметра $a$:

$a + 2a + 3a = 6a$

Уравнение принимает вид:

$x + 6a = 8a$

Перенесем слагаемое $6a$ в правую часть уравнения, чтобы выразить $x$:

$x = 8a - 6a$

$x = 2a$

Ответ: $x = 2a$

3) Исходное уравнение: $(\frac{3}{4}x - \frac{2}{5}) + (\frac{2}{3}x + 0,6) - (\frac{7}{12}x - 0,3) = 5,8$.

Для удобства вычислений переведем все десятичные дроби в обыкновенные:

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$0,3 = \frac{3}{10}$

$5,8 = \frac{58}{10} = \frac{29}{5}$

Подставим эти значения в уравнение и раскроем скобки:

$\frac{3}{4}x - \frac{2}{5} + \frac{2}{3}x + \frac{3}{5} - \frac{7}{12}x + \frac{3}{10} = \frac{29}{5}$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные члены:

$(\frac{3}{4}x + \frac{2}{3}x - \frac{7}{12}x) + (-\frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{3}{10}) = \frac{29}{5}$

Приведем коэффициенты при $x$ к общему знаменателю 12:

$(\frac{9}{12}x + \frac{8}{12}x - \frac{7}{12}x) = \frac{9+8-7}{12}x = \frac{10}{12}x = \frac{5}{6}x$

Приведем свободные члены в левой части к общему знаменателю 10:

$-\frac{4}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{-4+6+3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{5}{6}x + \frac{1}{2} = \frac{29}{5}$

Перенесем $\frac{1}{2}$ в правую часть:

$\frac{5}{6}x = \frac{29}{5} - \frac{1}{2}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 10:

$\frac{5}{6}x = \frac{58}{10} - \frac{5}{10} = \frac{53}{10}$

Чтобы найти $x$, умножим правую часть на дробь, обратную коэффициенту при $x$:

$x = \frac{53}{10} \cdot \frac{6}{5} = \frac{53 \cdot 6}{10 \cdot 5} = \frac{318}{50}$

Сократим полученную дробь на 2:

$x = \frac{159}{25}$

Ответ: $x = \frac{159}{25}$

4) Раскроем все скобки в уравнении $(x - a - b) + (2x + 3a + b) = (2a - b) - (2a - 5b)$:

$x - a - b + 2x + 3a + b = 2a - b - 2a + 5b$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения.

Левая часть:

$(x + 2x) + (-a + 3a) + (-b + b) = 3x + 2a$

Правая часть:

$(2a - 2a) + (-b + 5b) = 4b$

Упрощенное уравнение выглядит так:

$3x + 2a = 4b$

Перенесем слагаемое $2a$ в правую часть, чтобы изолировать член с $x$:

$3x = 4b - 2a$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{4b - 2a}{3}$

Ответ: $x = \frac{4b - 2a}{3}$

0.23. Решите систему уравнений относительно переменных x и y:

1) $ \begin{cases} px - qy = a \\ lx + my = b \end{cases} $

2) $ \begin{cases} bx + ay = ab \\ bx + 1 = a + y \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{2x+3}{3y-2} = 1 \\ x(2y - 5) - 2y(x + 3) = 2x + 1 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{x+1}{y+2} = 5 \\ 3(2x - 5) - 4(3y + 4) = 5 \end{cases} $

1)

Дана система линейных уравнений с параметрами:

$$ \begin{cases} px - qy = a \\ lx + my = b \end{cases} $$

Для решения системы используем метод сложения (метод исключения). Умножим первое уравнение на $m$, а второе на $q$, чтобы при сложении уравнений исключить переменную $y$:

$$ \begin{cases} m(px - qy) = ma \\ q(lx + my) = qb \end{cases} \implies \begin{cases} mpx - mqy = ma \\ qlx + qmy = qb \end{cases} $$

Сложим полученные уравнения:

$(mpx - mqy) + (qlx + qmy) = ma + qb$

$mpx + qlx = ma + qb$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(mp + ql) = ma + qb$

Отсюда, при условии что $mp + ql \neq 0$, находим $x$:

$x = \frac{ma + qb}{mp + ql}$

Теперь найдем $y$. Умножим первое уравнение исходной системы на $l$, а второе на $p$:

$$ \begin{cases} l(px - qy) = la \\ p(lx + my) = pb \end{cases} \implies \begin{cases} lpx - lqy = la \\ plx + pmy = pb \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $x$:

$(plx + pmy) - (lpx - lqy) = pb - la$

$pmy + lqy = pb - la$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(pm + lq) = pb - la$

Отсюда, при том же условии $pm + lq \neq 0$, находим $y$:

$y = \frac{pb - la}{pm + lq}$

Ответ: $x = \frac{am + bq}{pm + ql}, y = \frac{pb - al}{pm + ql}$ (при $pm + ql \neq 0$).

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} bx + ay = ab \\ bx + 1 = a + y \end{cases} $$

Приведем второе уравнение к стандартному виду $Ax + By = C$:

$bx - y = a - 1$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} bx + ay = ab \\ bx - y = a - 1 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $x$:

$(bx + ay) - (bx - y) = ab - (a - 1)$

$ay + y = ab - a + 1$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(a + 1) = a(b-1) + 1$

При условии $a \neq -1$, находим $y$:

$y = \frac{ab - a + 1}{a + 1}$

Подставим найденное выражение для $y$ во второе упрощенное уравнение $bx = y + a - 1$:

$bx = \frac{ab - a + 1}{a + 1} + (a - 1)$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$bx = \frac{ab - a + 1 + (a - 1)(a + 1)}{a + 1}$

$bx = \frac{ab - a + 1 + a^2 - 1}{a + 1}$

$bx = \frac{ab - a + a^2}{a + 1}$

$bx = \frac{a(b - 1 + a)}{a + 1}$

При условии $b \neq 0$, находим $x$:

$x = \frac{a(a + b - 1)}{b(a + 1)}$

Ответ: $x = \frac{a(a + b - 1)}{b(a + 1)}, y = \frac{ab - a + 1}{a + 1}$ (при $a \neq -1, b \neq 0$).

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2x + 3}{3y - 2} = 1 \\ x(2y - 5) - 2y(x + 3) = 2x + 1 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение. Из первого уравнения следует, что знаменатель не может быть равен нулю: $3y - 2 \neq 0$, то есть $y \neq \frac{2}{3}$.

Преобразуем первое уравнение:

$2x + 3 = 1 \cdot (3y - 2)$

$2x + 3 = 3y - 2$

$2x - 3y = -5$

Преобразуем второе уравнение, раскрыв скобки:

$2xy - 5x - (2xy + 6y) = 2x + 1$

$2xy - 5x - 2xy - 6y = 2x + 1$

Члены $2xy$ и $-2xy$ взаимно уничтожаются:

$-5x - 6y = 2x + 1$

Соберем все переменные в левой части:

$-7x - 6y = 1$

Умножим на -1 для удобства: $7x + 6y = -1$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = -5 \\ 7x + 6y = -1 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$2(2x - 3y) = 2(-5) \implies 4x - 6y = -10$

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(4x - 6y) + (7x + 6y) = -10 + (-1)$

$11x = -11$

$x = -1$

Подставим значение $x = -1$ в уравнение $2x - 3y = -5$:

$2(-1) - 3y = -5$

$-2 - 3y = -5$

$-3y = -3$

$y = 1$

Найденное значение $y=1$ удовлетворяет условию $y \neq \frac{2}{3}$.

Ответ: $x = -1, y = 1$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x + 1}{y + 2} = 5 \\ 3(2x - 5) - 4(3y + 4) = 5 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение. Из первого уравнения следует, что $y + 2 \neq 0$, то есть $y \neq -2$.

Преобразуем первое уравнение:

$x + 1 = 5(y + 2)$

$x + 1 = 5y + 10$

$x - 5y = 9$

Преобразуем второе уравнение, раскрыв скобки:

$6x - 15 - (12y + 16) = 5$

$6x - 15 - 12y - 16 = 5$

$6x - 12y - 31 = 5$

$6x - 12y = 36$

Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения:

$x - 2y = 6$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - 5y = 9 \\ x - 2y = 6 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $x$:

$(x - 5y) - (x - 2y) = 9 - 6$

$-5y + 2y = 3$

$-3y = 3$

$y = -1$

Найденное значение $y=-1$ удовлетворяет условию $y \neq -2$.

Подставим $y = -1$ в уравнение $x - 2y = 6$:

$x - 2(-1) = 6$

$x + 2 = 6$

$x = 4$

Ответ: $x = 4, y = -1$.