Страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

?

1. Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем.

2. Сформулируйте определение основания степени.

3. Сформулируйте определение показателя степени.

4. Приведите пример возведения числа в степень и прочтите его. Укажите основание степени и показатель.

5. Как записывают степень числа с показателем степени, равным 1?

6. Какой знак имеет отрицательное число с четным показателем?

7. Какой знак имеет отрицательное число с нечетным показателем?

ПЗ

В сосуд кубической формы с ребром, равным 1 дм, вмещается 1 литр жидкости. Сколько литров воды вмещается в бассейн кубической формы с ребром, равным 1,5 м?

1. Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим единицы ($n > 1$), называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Это записывается как $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$. Если показатель степени равен 1, то степень числа равна самому этому числу: $a^1 = a$.

Ответ: Степенью числа a с натуральным показателем n является результат умножения числа a само на себя n раз.

2. Сформулируйте определение основания степени.

В выражении степени $a^n$ основанием степени называется число a — это число, которое возводится в степень (то есть, умножается само на себя).

Ответ: Основание степени — это повторяющийся множитель в произведении, представляющем степень.

3. Сформулируйте определение показателя степени.

В выражении степени $a^n$ показателем степени называется число n. Оно показывает, сколько раз основание степени a используется в качестве множителя.

Ответ: Показатель степени — это число, которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя.

4. Приведите пример возведения числа в степень и прочтите его. Укажите основание степени и показатель.

Пример: $4^3$.
Это выражение читается как "четыре в третьей степени" или "четыре в кубе".
Вычисление: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
В этом примере основание степени равно 4, а показатель степени равен 3.

Ответ: Пример: $4^3$ ("четыре в третьей степени"). Основание: 4, показатель: 3.

5. Как записывают степень числа с показателем степени, равным 1?

Степень любого числа с показателем 1 равна самому этому числу. Записывается это в виде тождества: $a^1 = a$.

Ответ: Степень числа с показателем 1 равна самому этому числу: $a^1 = a$.

6. Какой знак имеет отрицательное число с четным показателем?

При возведении отрицательного числа в степень с четным показателем результат всегда будет положительным. Это связано с тем, что произведение четного количества отрицательных множителей является положительным числом. Например, $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$.

Ответ: Положительный.

7. Какой знак имеет отрицательное число с нечетным показателем?

При возведении отрицательного числа в степень с нечетным показателем результат всегда будет отрицательным. Это связано с тем, что произведение нечетного количества отрицательных множителей является отрицательным числом. Например, $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$.

Ответ: Отрицательный.

В сосуд кубической формы с ребром, равным 1 дм, вмещается 1 литр жидкости. Сколько литров воды вмещается в бассейн кубической формы с ребром, равным 1,5 м?

1. Из условия задачи мы знаем, что объем куба с ребром 1 дм равен 1 литру. Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где a — длина ребра. Таким образом, мы имеем соотношение: $V_1 = (1 \text{ дм})^3 = 1 \text{ дм}^3 = 1 \text{ литр}$.
2. Найдем объем бассейна. Длина ребра бассейна составляет $a_2 = 1,5$ м. Чтобы использовать установленное выше соотношение, переведем метры в дециметры. Мы знаем, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, следовательно:
$a_2 = 1,5 \text{ м} = 1,5 \cdot 10 \text{ дм} = 15 \text{ дм}$.
3. Теперь вычислим объем бассейна в кубических дециметрах, возведя длину его ребра в куб:
$V_{бассейна} = (15 \text{ дм})^3 = 15 \cdot 15 \cdot 15 = 225 \cdot 15 = 3375 \text{ дм}^3$.
4. Поскольку $1 \text{ дм}^3$ соответствует 1 литру, объем бассейна в литрах будет численно равен его объему в кубических дециметрах.
$V_{бассейна} = 3375 \text{ литров}$.

Ответ: 3375 литров.

1.1. Представьте произведение в виде степени:

1) $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a;$

2) $0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3;$

3) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2);$

4) $(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2});$

5) $(-\frac{5}{3}) \cdot (-\frac{5}{3}) \cdot (-\frac{5}{3});$

6) $(ax) \cdot (ax) \cdot (ax) \cdot (ax) \cdot (ax).$

1) Произведение представляет собой умножение переменной $a$ на саму себя 5 раз. По определению степени, такое произведение можно записать как основание $a$ в степени, равной количеству множителей, то есть 5.
$a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^5$
Ответ: $a^5$

2) В данном произведении число $0,3$ умножается само на себя 5 раз. Следовательно, это можно представить в виде степени, где основанием является число $0,3$, а показателем степени — число 5.
$0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = (0,3)^5$
Ответ: $(0,3)^5$

3) Здесь число $(-2)$ умножается на само себя 3 раза. Чтобы представить это в виде степени, нужно взять число $(-2)$ в качестве основания и 3 в качестве показателя степени. Важно сохранить скобки, так как они указывают, что в степень возводится отрицательное число.
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = (-2)^3$
Ответ: $(-2)^3$

4) В этом примере дробь $\frac{1}{2}$ является множителем 4 раза. Таким образом, мы можем записать это произведение как степень с основанием $\frac{1}{2}$ и показателем 4.
$(\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^4$
Ответ: $(\frac{1}{2})^4$

5) Произведение состоит из трех одинаковых множителей, равных отрицательной дроби $(-\frac{5}{3})$. Это можно представить в виде степени, основанием которой является $(-\frac{5}{3})$, а показателем — 3.
$(-\frac{5}{3}) \cdot (-\frac{5}{3}) \cdot (-\frac{5}{3}) = (-\frac{5}{3})^3$
Ответ: $(-\frac{5}{3})^3$

6) В данном выражении произведение $(ax)$ умножается на само себя 5 раз. Значит, основанием степени будет выражение $(ax)$, а показателем степени — число 5.
$(ax) \cdot (ax) \cdot (ax) \cdot (ax) \cdot (ax) = (ax)^5$
Ответ: $(ax)^5$

1.2. Вычислите:

1) $(-3)^3$;

2) $(-2)^4$;

3) $(-4)^3$;

4) $(-5)^2$;

5) $4^4$;

6) $2^5$;

7) $7^3$;

8) $8^2$;

9) $2,5^2$;

10) $(-\frac{1}{2})^3$.

1) Чтобы вычислить $ (-3)^3 $, необходимо возвести число -3 в третью степень. Это означает умножить -3 само на себя 3 раза. Поскольку основание степени отрицательное, а показатель степени (3) — нечетное число, результат будет отрицательным.
Вычисление: $ (-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27 $.
Ответ: -27

2) Чтобы вычислить $ (-2)^4 $, необходимо возвести число -2 в четвертую степень. Это означает умножить -2 само на себя 4 раза. Поскольку основание степени отрицательное, а показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным.
Вычисление: $ (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 = 16 $.
Ответ: 16

3) Чтобы вычислить $ (-4)^3 $, необходимо возвести число -4 в третью степень. Поскольку показатель степени (3) нечетный, результат будет отрицательным.
Вычисление: $ (-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64 $.
Ответ: -64

4) Чтобы вычислить $ (-5)^2 $, необходимо возвести число -5 во вторую степень (в квадрат). Поскольку показатель степени (2) четный, результат будет положительным.
Вычисление: $ (-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25 $.
Ответ: 25

5) Чтобы вычислить $ 4^4 $, необходимо умножить число 4 само на себя 4 раза.
Вычисление: $ 4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256 $.
Ответ: 256

6) Чтобы вычислить $ 2^5 $, необходимо умножить число 2 само на себя 5 раз.
Вычисление: $ 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 $.
Ответ: 32

7) Чтобы вычислить $ 7^3 $, необходимо возвести число 7 в третью степень (в куб).
Вычисление: $ 7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343 $.
Ответ: 343

8) Чтобы вычислить $ 8^2 $, необходимо возвести число 8 во вторую степень (в квадрат).
Вычисление: $ 8^2 = 8 \cdot 8 = 64 $.
Ответ: 64

9) Чтобы вычислить $ 2,5^2 $, необходимо возвести десятичную дробь 2,5 в квадрат.
Вычисление: $ 2,5^2 = 2,5 \cdot 2,5 = 6,25 $.
Ответ: 6,25

10) Чтобы вычислить $ (-\frac{1}{2})^3 $, необходимо возвести дробь $ -\frac{1}{2} $ в куб. При возведении дроби в степень, в эту степень возводится и числитель, и знаменатель. Поскольку основание отрицательное, а степень (3) нечетная, результат будет отрицательным.
Вычисление: $ (-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -(\frac{1^3}{2^3}) = -\frac{1}{8} $.
Ответ: -$\frac{1}{8}$

1.3. Выполните возведение в степень:

1) $(\frac{1}{2})^2$;

2) $(-\frac{1}{2})^5$;

3) $(-\frac{2}{3})^2$;

4) $0,3^3$;

5) $0,1^3$;

6) $(1\frac{1}{2})^4$;

7) $(-\frac{3}{4})^3$;

8) $(2\frac{1}{2})^3$.

1) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. В данном случае, возводим дробь $\frac{1}{2}$ во вторую степень: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1 \times 1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 5), результат будет отрицательным. Далее возводим в степень числитель и знаменатель дроби: $(-\frac{1}{2})^5 = -(\frac{1}{2})^5 = -\frac{1^5}{2^5} = -\frac{1}{32}$.
Ответ: $-\frac{1}{32}$.

3) При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2), результат будет положительным. Знак минус "исчезает". Далее возводим в степень числитель и знаменатель дроби: $(-\frac{2}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

4) Чтобы возвести десятичную дробь в третью степень, нужно умножить это число само на себя три раза: $0,3^3 = 0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,09 \times 0,3 = 0,027$.
Ответ: $0,027$.

5) Чтобы возвести десятичную дробь $0,1$ в третью степень, умножим ее саму на себя три раза: $0,1^3 = 0,1 \times 0,1 \times 0,1 = 0,01 \times 0,1 = 0,001$.
Ответ: $0,001$.

6) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$. Затем возводим полученную дробь в четвертую степень: $(\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{81}{16} = 5\frac{1}{16}$.
Ответ: $5\frac{1}{16}$.

7) При возведении отрицательной дроби в нечетную степень (в данном случае 3), результат будет отрицательным. Возводим числитель и знаменатель в указанную степень: $(-\frac{3}{4})^3 = -(\frac{3}{4})^3 = -\frac{3^3}{4^3} = -\frac{27}{64}$.
Ответ: $-\frac{27}{64}$.

8) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$. Затем возводим полученную дробь в третью степень: $(\frac{5}{2})^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{125}{8} = 15\frac{5}{8}$.
Ответ: $15\frac{5}{8}$.

1.4. Представьте произведение в виде степени:

1) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$;

2) $x \cdot x \cdot x \cdot x$;

3) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot a \cdot a$;

4) $a \cdot a \cdot b \cdot b$;

5) $x \cdot x + y \cdot y$;

6) $m \cdot m \cdot m + m \cdot m$;

7) $u \cdot u \cdot b \cdot b$;

8) $m \cdot x \cdot x + n \cdot n \cdot y \cdot y$;

9) $2 \cdot x \cdot x \cdot z \cdot z + y \cdot y$.

1) В данном произведении число 5 является основанием, так как оно умножается само на себя. Число 5 повторяется 4 раза, поэтому показатель степени равен 4. Таким образом, произведение $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ можно записать в виде степени.
Ответ: $5^4$

2) В этом произведении переменная $x$ является основанием. Она умножается сама на себя 5 раз, следовательно, показатель степени равен 5. Произведение $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ записывается как степень.
Ответ: $x^5$

3) В выражении $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot a \cdot a$ есть два разных множителя: 5 и $a$. Сначала представим в виде степени произведение одинаковых множителей. Число 5 повторяется 3 раза, что равно $5^3$. Переменная $a$ повторяется 2 раза, что равно $a^2$. Итоговое выражение является произведением этих степеней.
Ответ: $5^3a^2$

4) В выражении $a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b$ сгруппируем одинаковые множители. Переменная $a$ умножается на себя 2 раза, что записывается как $a^2$. Переменная $b$ умножается на себя 3 раза, что записывается как $b^3$. Результатом будет произведение этих степеней.
Ответ: $a^2b^3$

5) Данное выражение $x \cdot x + y \cdot y$ является суммой, а не произведением. Мы можем представить в виде степени каждое слагаемое отдельно. Первое слагаемое $x \cdot x$ равно $x^2$. Второе слагаемое $y \cdot y$ равно $y^2$. Таким образом, все выражение можно записать как сумму степеней.
Ответ: $x^2 + y^2$

6) Выражение $m \cdot m \cdot m + m \cdot m$ является суммой двух слагаемых. Представим каждое слагаемое в виде степени. Первое слагаемое $m \cdot m \cdot m$ равно $m^3$. Второе слагаемое $m \cdot m$ равно $m^2$. В результате получаем сумму двух степеней.
Ответ: $m^3 + m^2$

7) В произведении $u \cdot u \cdot b \cdot b$ есть два разных множителя. Множитель $u$ повторяется 2 раза, что дает $u^2$. Множитель $b$ также повторяется 2 раза, что дает $b^2$. Запишем итоговое выражение как произведение полученных степеней.
Ответ: $u^2b^2$

8) Это выражение $m \cdot x \cdot x \cdot x + n \cdot n \cdot y \cdot y \cdot y$ является суммой. Упростим каждое слагаемое, представив произведения в виде степеней. Первое слагаемое: $m \cdot x \cdot x \cdot x = mx^3$. Второе слагаемое: $n \cdot n \cdot y \cdot y \cdot y = n^2y^3$. Итоговое выражение будет суммой этих членов.
Ответ: $mx^3 + n^2y^3$

9) Выражение $2 \cdot x \cdot x \cdot z \cdot z + y \cdot y \cdot y$ представляет собой сумму. Рассмотрим каждое слагаемое. Первое слагаемое: $2 \cdot x \cdot x \cdot z \cdot z = 2x^2z^2$. Второе слагаемое: $y \cdot y \cdot y = y^3$. Запишем выражение в виде суммы степеней.
Ответ: $2x^2z^2 + y^3$