Страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.27. Докажите, что выражения $x^4+1$ и $3+(4-x)^2$ принимают только положительные значения.

$x^4+1$

Рассмотрим выражение $x^4+1$. Так как показатель степени 4 является четным числом, значение $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$. Это можно записать в виде неравенства: $x^4 \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принять $x^4$, равно 0, и достигается оно при $x=0$. Прибавив 1 к обеим частям неравенства $x^4 \ge 0$, получим: $x^4 + 1 \ge 0 + 1$ $x^4 + 1 \ge 1$ Поскольку $1 > 0$, то и значение выражения $x^4+1$ всегда будет больше нуля, то есть положительным, при любом значении $x$.

Ответ: Выражение $x^4+1$ принимает только положительные значения, так как его наименьшее значение равно 1.

$3+(4-x)^2$

Рассмотрим выражение $3+(4-x)^2$. Слагаемое $(4-x)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Таким образом, для любого $x$ справедливо неравенство: $(4-x)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принять $(4-x)^2$, равно 0, и достигается оно, когда $4-x=0$, то есть при $x=4$. Прибавив 3 к обеим частям неравенства $(4-x)^2 \ge 0$, получим: $3 + (4-x)^2 \ge 3 + 0$ $3 + (4-x)^2 \ge 3$ Поскольку $3 > 0$, то и значение выражения $3+(4-x)^2$ всегда будет больше нуля, то есть положительным, при любом значении $x$.

Ответ: Выражение $3+(4-x)^2$ принимает только положительные значения, так как его наименьшее значение равно 3.

1.28. Докажите, что уравнение $x^4+5x^3+2x^2+x+4=0$ не может иметь положительных корней.

Чтобы доказать, что данное уравнение не имеет положительных корней, рассмотрим его левую часть при условии, что $x$ — положительное число, то есть $x > 0$.

Уравнение имеет вид: $x^4+5x^3+2x^2+x+4=0$.

Проанализируем каждое слагаемое в левой части уравнения, если $x > 0$:

• $x^4$: Если $x$ — положительное число, то $x$ в любой четной степени ($x^4$) также будет положительным числом. $x^4 > 0$.
• $5x^3$: Если $x$ — положительное число, то $x^3$ будет положительным. Произведение положительного числа $x^3$ на положительное число 5 также будет положительным. $5x^3 > 0$.
• $2x^2$: Аналогично, если $x > 0$, то $x^2 > 0$, и произведение $2x^2 > 0$.
• $x$: По нашему предположению, $x > 0$.
• $4$: Это положительная константа, $4 > 0$.

Таким образом, для любого положительного значения $x$ левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых. Сумма нескольких строго положительных чисел всегда является строго положительным числом.

Следовательно, при $x > 0$ всегда выполняется неравенство:

$x^4+5x^3+2x^2+x+4 > 0$

Поскольку левая часть уравнения всегда больше нуля для любого положительного $x$, она никогда не может быть равна нулю. Это означает, что у уравнения не может быть положительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого положительного значения $x$ все слагаемые в левой части уравнения ($x^4, 5x^3, 2x^2, x, 4$) являются положительными числами. Их сумма также всегда будет положительным числом и, следовательно, не может равняться нулю.

1.29. Верно ли равенство, данное ниже, при любом a?

1) $|a|^2 = a^2$;

2) $|a|^3 = a^3$.

1) Равенство $|a|^2 = a^2$

Чтобы определить, верно ли данное равенство для любого значения a, рассмотрим два возможных случая, основанных на определении модуля.

Случай 1: $a \ge 0$ (a — неотрицательное число).
По определению модуля, если $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Подставим это значение в левую часть равенства:
$|a|^2 = a^2$.
Правая часть равенства также равна $a^2$. Таким образом, мы получаем тождество $a^2 = a^2$, которое является верным.

Случай 2: $a < 0$ (a — отрицательное число).
По определению модуля, если $a < 0$, то $|a| = -a$.
Подставим это значение в левую часть равенства:
$|a|^2 = (-a)^2$.
При возведении в четную степень (квадрат) отрицательного числа результат будет положительным: $(-a)^2 = (-1 \cdot a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$.
Правая часть равенства равна $a^2$. Мы снова получаем верное тождество $a^2 = a^2$.

Так как равенство выполняется как для неотрицательных, так и для отрицательных значений a, оно верно при любом a.

Ответ: да, равенство верно при любом $a$.

2) Равенство $|a|^3 = a^3$

Проверим это равенство, также рассмотрев два случая.

Случай 1: $a \ge 0$ (a — неотрицательное число).
Если $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Подставляя в левую часть, получаем: $|a|^3 = a^3$.
Правая часть равна $a^3$. Равенство $a^3 = a^3$ является верным.

Случай 2: $a < 0$ (a — отрицательное число).
Если $a < 0$, то $|a| = -a$.
Подставляя в левую часть, получаем: $|a|^3 = (-a)^3$.
При возведении в нечетную степень (куб) знак сохраняется: $(-a)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 = -1 \cdot a^3 = -a^3$.
Правая часть равенства равна $a^3$.
В этом случае мы получаем равенство $-a^3 = a^3$.
Это равенство верно, только если $2a^3 = 0$, что означает $a = 0$. Однако мы рассматриваем случай $a < 0$, для которого это равенство не выполняется.
Например, возьмем произвольное отрицательное число, скажем $a = -2$:
Левая часть: $|-2|^3 = 2^3 = 8$.
Правая часть: $(-2)^3 = -8$.
Поскольку $8 \ne -8$, равенство неверно.

Так как равенство не выполняется для всех отрицательных значений a, оно не является верным при любом a.

Ответ: нет, равенство неверно при любом $a$ (оно верно только при $a \ge 0$).

1.30. Решите уравнение:

1) $0,12 - 2,5x = -0,8;$

2) $4,8x - 0,3 = 4,2 \cdot 0,5;$

3) $1\frac{3}{4} - 5x = 2\frac{3}{4} : \left( -3\frac{2}{3} \right);$

4) $20x + 0,4 \cdot \left( -6\frac{1}{4} \right) = 4\frac{2}{3} : \left( -\frac{1}{4} \right).$

1) Исходное уравнение: $0,12 - 2,5x = -0,8$.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $2,5x$, нужно из уменьшаемого $0,12$ вычесть разность $-0,8$.
$2,5x = 0,12 - (-0,8)$
$2,5x = 0,12 + 0,8$
$2,5x = 0,92$
Теперь найдем $x$, разделив произведение $0,92$ на известный множитель $2,5$.
$x = 0,92 : 2,5$
Чтобы выполнить деление на десятичную дробь, перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо:
$x = 9,2 : 25$
$x = 0,368$
Ответ: $x = 0,368$.

2) Исходное уравнение: $4,8x - 0,3 = 4,2 \cdot 0,5$.
Сначала вычислим значение выражения в правой части уравнения.
$4,2 \cdot 0,5 = 2,1$
Уравнение принимает вид:
$4,8x - 0,3 = 2,1$
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $4,8x$, нужно к разности $2,1$ прибавить вычитаемое $0,3$.
$4,8x = 2,1 + 0,3$
$4,8x = 2,4$
Найдем $x$, разделив произведение $2,4$ на известный множитель $4,8$.
$x = \frac{2,4}{4,8} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2} = 0,5$
Ответ: $x = 0,5$.

3) Исходное уравнение: $1\frac{3}{4} - 5x = 2\frac{3}{4} : (-3\frac{2}{3})$.
Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$
$-3\frac{2}{3} = -(\frac{3 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{11}{3}$
Вычислим значение в правой части. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь.
$2\frac{3}{4} : (-3\frac{2}{3}) = \frac{11}{4} : (-\frac{11}{3}) = \frac{11}{4} \cdot (-\frac{3}{11}) = -\frac{11 \cdot 3}{4 \cdot 11} = -\frac{3}{4}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{7}{4} - 5x = -\frac{3}{4}$
Найдем $5x$:
$5x = \frac{7}{4} - (-\frac{3}{4})$
$5x = \frac{7}{4} + \frac{3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
Найдем $x$:
$x = \frac{5}{2} : 5 = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

4) Исходное уравнение: $20x + 0,4 \cdot (-6\frac{1}{4}) = 4\frac{2}{3} : (-\frac{1}{4})$.
Преобразуем все десятичные и смешанные дроби в неправильные дроби.
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$-6\frac{1}{4} = -\frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{25}{4}$
$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$
Выполним действия в левой и правой частях уравнения.
Левая часть (слогаемое без $x$): $0,4 \cdot (-6\frac{1}{4}) = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{25}{4}) = -\frac{2 \cdot 25}{5 \cdot 4} = -\frac{50}{20} = -\frac{5}{2}$.
Правая часть: $4\frac{2}{3} : (-\frac{1}{4}) = \frac{14}{3} \cdot (-4) = -\frac{56}{3}$.
Уравнение принимает вид:
$20x + (-\frac{5}{2}) = -\frac{56}{3}$
$20x - \frac{5}{2} = -\frac{56}{3}$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $20x$, из суммы вычтем известное слагаемое.
$20x = -\frac{56}{3} - (-\frac{5}{2})$
$20x = -\frac{56}{3} + \frac{5}{2}$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$20x = -\frac{56 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{112}{6} + \frac{15}{6} = \frac{-112 + 15}{6} = -\frac{97}{6}$
Найдем $x$:
$x = (-\frac{97}{6}) : 20 = -\frac{97}{6} \cdot \frac{1}{20} = -\frac{97}{120}$
Ответ: $x = -\frac{97}{120}$.

1.31*. При каких значениях a и b система уравнений

$\begin{cases} x - 2y = 3, \\ 2x + ay = b \end{cases}$

имеет:

1) одно решение;

2) бесконечное множество решений;

3) не имеет решения?

Рассмотрим данную систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 3, \\ 2x + ay = b. \end{cases} $

Для анализа количества решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2, \end{cases} $ сравним отношения их коэффициентов. В нашем случае коэффициенты равны: $a_1 = 1$, $b_1 = -2$, $c_1 = 3$, $a_2 = 2$, $b_2 = a$, $c_2 = b$.

1) одно решение

Система имеет одно единственное решение, если прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Это условие выполняется, когда отношение коэффициентов при соответствующих переменных не равно друг другу, то есть когда прямые имеют разные угловые коэффициенты.

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Подставим значения коэффициентов из нашей системы:

$\frac{1}{2} \neq \frac{-2}{a}$

Решим это неравенство относительно $a$, используя свойство пропорции:

$1 \cdot a \neq 2 \cdot (-2)$

$a \neq -4$

В этом случае значение параметра $b$ может быть любым, так как при непараллельных прямых они всегда пересекутся ровно в одной точке.

Ответ: $a \neq -4$, $b$ — любое число.

2) бесконечное множество решений

Система имеет бесконечное множество решений, если прямые, являющиеся графиками уравнений, совпадают. Это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Подставим наши значения:

$\frac{1}{2} = \frac{-2}{a} = \frac{3}{b}$

Эта запись эквивалентна системе из двух равенств. Из первого равенства найдем $a$:

$\frac{1}{2} = \frac{-2}{a} \implies 1 \cdot a = 2 \cdot (-2) \implies a = -4$

Из второго равенства (между первым и третьим отношениями) найдем $b$:

$\frac{1}{2} = \frac{3}{b} \implies 1 \cdot b = 2 \cdot 3 \implies b = 6$

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений только при $a=-4$ и $b=6$.

Ответ: $a = -4$, $b = 6$.

3) не имеет решения

Система не имеет решений, если прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны, но не совпадают. Это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но их отношение не равно отношению свободных членов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

Подставим наши значения:

$\frac{1}{2} = \frac{-2}{a} \neq \frac{3}{b}$

Из равенства $\frac{1}{2} = \frac{-2}{a}$ мы уже нашли в предыдущем пункте, что $a = -4$.

Теперь рассмотрим неравенство:

$\frac{1}{2} \neq \frac{3}{b}$

Решим это неравенство относительно $b$:

$1 \cdot b \neq 2 \cdot 3$

$b \neq 6$

Следовательно, система не имеет решений при $a=-4$ и $b \neq 6$.

Ответ: $a = -4$, $b \neq 6$.

1.32. Из удвоенного квадрата суммы чисел $a$ и $b$ вычтите утроенную разность тех же чисел и вычислите результат при:

1) $a=6, b=-4;$

2) $a=3, b=-5.$

Сначала составим математическое выражение по словесному описанию. "Удвоенный квадрат суммы чисел $a$ и $b$" можно записать как $2(a+b)^2$. "Утроенная разность тех же чисел" записывается как $3(a-b)$. Теперь, согласно условию, вычтем второе из первого. Получим следующее выражение:

$2(a+b)^2 - 3(a-b)$

Теперь подставим в это выражение заданные значения и вычислим результат.

1) При $a=6, b=-4$:

Подставляем значения в формулу:

$2(6 + (-4))^2 - 3(6 - (-4)) = 2(2)^2 - 3(6+4) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 10 = 8 - 30 = -22$

Ответ: -22

2) При $a=3, b=-5$:

Подставляем значения в формулу:

$2(3 + (-5))^2 - 3(3 - (-5)) = 2(-2)^2 - 3(3+5) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 8 = 8 - 24 = -16$

Ответ: -16

1.33. При каких условиях значение выражения $\frac{a-1}{2}$:

1) положительное число;

2) отрицательное число;

3) целое число;

4) равно нулю?

Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, проанализируем выражение $\frac{a-1}{2}$ для каждого условия.

1) положительное число

Значение выражения будет положительным, если оно больше нуля. Запишем это в виде неравенства:

$\frac{a-1}{2} > 0$

Дробь положительна, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Поскольку знаменатель 2 — положительное число, числитель также должен быть положительным:

$a-1 > 0$

Перенесем 1 в правую часть неравенства:

$a > 1$

Ответ: значение выражения является положительным числом при $a > 1$.

2) отрицательное число

Значение выражения будет отрицательным, если оно меньше нуля. Запишем это в виде неравенства:

$\frac{a-1}{2} < 0$

Дробь отрицательна, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку знаменатель 2 — положительное число, числитель должен быть отрицательным:

$a-1 < 0$

Перенесем 1 в правую часть неравенства:

$a < 1$

Ответ: значение выражения является отрицательным числом при $a < 1$.

3) целое число

Значение выражения будет целым числом, если его числитель $a-1$ будет делиться на знаменатель 2 без остатка. Это означает, что $a-1$ должно быть четным числом.

Любое четное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$a - 1 = 2k$

Выразим $a$ из этого уравнения:

$a = 2k + 1$

Формула $a = 2k + 1$ описывает любое нечетное целое число. Таким образом, $a$ должно быть нечетным целым числом.

Ответ: значение выражения является целым числом, если $a$ — любое нечетное целое число.

4) равно нулю

Значение выражения равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Знаменатель равен 2, что удовлетворяет условию.

Приравняем числитель к нулю:

$a-1=0$

Решим уравнение:

$a=1$

Ответ: значение выражения равно нулю при $a = 1$.