Номер 1.28, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.28. Докажите, что уравнение $x^4+5x^3+2x^2+x+4=0$ не может иметь положительных корней.

Чтобы доказать, что данное уравнение не имеет положительных корней, рассмотрим его левую часть при условии, что $x$ — положительное число, то есть $x > 0$.

Уравнение имеет вид: $x^4+5x^3+2x^2+x+4=0$.

Проанализируем каждое слагаемое в левой части уравнения, если $x > 0$:

• $x^4$: Если $x$ — положительное число, то $x$ в любой четной степени ($x^4$) также будет положительным числом. $x^4 > 0$.
• $5x^3$: Если $x$ — положительное число, то $x^3$ будет положительным. Произведение положительного числа $x^3$ на положительное число 5 также будет положительным. $5x^3 > 0$.
• $2x^2$: Аналогично, если $x > 0$, то $x^2 > 0$, и произведение $2x^2 > 0$.
• $x$: По нашему предположению, $x > 0$.
• $4$: Это положительная константа, $4 > 0$.

Таким образом, для любого положительного значения $x$ левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых. Сумма нескольких строго положительных чисел всегда является строго положительным числом.

Следовательно, при $x > 0$ всегда выполняется неравенство:

$x^4+5x^3+2x^2+x+4 > 0$

Поскольку левая часть уравнения всегда больше нуля для любого положительного $x$, она никогда не может быть равна нулю. Это означает, что у уравнения не может быть положительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого положительного значения $x$ все слагаемые в левой части уравнения ($x^4, 5x^3, 2x^2, x, 4$) являются положительными числами. Их сумма также всегда будет положительным числом и, следовательно, не может равняться нулю.