Номер 1.27, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.27. Докажите, что выражения $x^4+1$ и $3+(4-x)^2$ принимают только положительные значения.

$x^4+1$

Рассмотрим выражение $x^4+1$. Так как показатель степени 4 является четным числом, значение $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$. Это можно записать в виде неравенства: $x^4 \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принять $x^4$, равно 0, и достигается оно при $x=0$. Прибавив 1 к обеим частям неравенства $x^4 \ge 0$, получим: $x^4 + 1 \ge 0 + 1$ $x^4 + 1 \ge 1$ Поскольку $1 > 0$, то и значение выражения $x^4+1$ всегда будет больше нуля, то есть положительным, при любом значении $x$.

Ответ: Выражение $x^4+1$ принимает только положительные значения, так как его наименьшее значение равно 1.

$3+(4-x)^2$

Рассмотрим выражение $3+(4-x)^2$. Слагаемое $(4-x)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Таким образом, для любого $x$ справедливо неравенство: $(4-x)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принять $(4-x)^2$, равно 0, и достигается оно, когда $4-x=0$, то есть при $x=4$. Прибавив 3 к обеим частям неравенства $(4-x)^2 \ge 0$, получим: $3 + (4-x)^2 \ge 3 + 0$ $3 + (4-x)^2 \ge 3$ Поскольку $3 > 0$, то и значение выражения $3+(4-x)^2$ всегда будет больше нуля, то есть положительным, при любом значении $x$.

Ответ: Выражение $3+(4-x)^2$ принимает только положительные значения, так как его наименьшее значение равно 3.