Номер 1.33, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.33. При каких условиях значение выражения $\frac{a-1}{2}$:

1) положительное число;

2) отрицательное число;

3) целое число;

4) равно нулю?

Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, проанализируем выражение $\frac{a-1}{2}$ для каждого условия.

1) положительное число

Значение выражения будет положительным, если оно больше нуля. Запишем это в виде неравенства:

$\frac{a-1}{2} > 0$

Дробь положительна, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Поскольку знаменатель 2 — положительное число, числитель также должен быть положительным:

$a-1 > 0$

Перенесем 1 в правую часть неравенства:

$a > 1$

Ответ: значение выражения является положительным числом при $a > 1$.

2) отрицательное число

Значение выражения будет отрицательным, если оно меньше нуля. Запишем это в виде неравенства:

$\frac{a-1}{2} < 0$

Дробь отрицательна, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку знаменатель 2 — положительное число, числитель должен быть отрицательным:

$a-1 < 0$

Перенесем 1 в правую часть неравенства:

$a < 1$

Ответ: значение выражения является отрицательным числом при $a < 1$.

3) целое число

Значение выражения будет целым числом, если его числитель $a-1$ будет делиться на знаменатель 2 без остатка. Это означает, что $a-1$ должно быть четным числом.

Любое четное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$a - 1 = 2k$

Выразим $a$ из этого уравнения:

$a = 2k + 1$

Формула $a = 2k + 1$ описывает любое нечетное целое число. Таким образом, $a$ должно быть нечетным целым числом.

Ответ: значение выражения является целым числом, если $a$ — любое нечетное целое число.

4) равно нулю

Значение выражения равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Знаменатель равен 2, что удовлетворяет условию.

Приравняем числитель к нулю:

$a-1=0$

Решим уравнение:

$a=1$

Ответ: значение выражения равно нулю при $a = 1$.