Номер 1.31, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.31*. При каких значениях a и b система уравнений

$\begin{cases} x - 2y = 3, \\ 2x + ay = b \end{cases}$

имеет:

1) одно решение;

2) бесконечное множество решений;

3) не имеет решения?

Рассмотрим данную систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 3, \\ 2x + ay = b. \end{cases} $

Для анализа количества решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2, \end{cases} $ сравним отношения их коэффициентов. В нашем случае коэффициенты равны: $a_1 = 1$, $b_1 = -2$, $c_1 = 3$, $a_2 = 2$, $b_2 = a$, $c_2 = b$.

1) одно решение

Система имеет одно единственное решение, если прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Это условие выполняется, когда отношение коэффициентов при соответствующих переменных не равно друг другу, то есть когда прямые имеют разные угловые коэффициенты.

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Подставим значения коэффициентов из нашей системы:

$\frac{1}{2} \neq \frac{-2}{a}$

Решим это неравенство относительно $a$, используя свойство пропорции:

$1 \cdot a \neq 2 \cdot (-2)$

$a \neq -4$

В этом случае значение параметра $b$ может быть любым, так как при непараллельных прямых они всегда пересекутся ровно в одной точке.

Ответ: $a \neq -4$, $b$ — любое число.

2) бесконечное множество решений

Система имеет бесконечное множество решений, если прямые, являющиеся графиками уравнений, совпадают. Это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Подставим наши значения:

$\frac{1}{2} = \frac{-2}{a} = \frac{3}{b}$

Эта запись эквивалентна системе из двух равенств. Из первого равенства найдем $a$:

$\frac{1}{2} = \frac{-2}{a} \implies 1 \cdot a = 2 \cdot (-2) \implies a = -4$

Из второго равенства (между первым и третьим отношениями) найдем $b$:

$\frac{1}{2} = \frac{3}{b} \implies 1 \cdot b = 2 \cdot 3 \implies b = 6$

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений только при $a=-4$ и $b=6$.

Ответ: $a = -4$, $b = 6$.

3) не имеет решения

Система не имеет решений, если прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны, но не совпадают. Это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но их отношение не равно отношению свободных членов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

Подставим наши значения:

$\frac{1}{2} = \frac{-2}{a} \neq \frac{3}{b}$

Из равенства $\frac{1}{2} = \frac{-2}{a}$ мы уже нашли в предыдущем пункте, что $a = -4$.

Теперь рассмотрим неравенство:

$\frac{1}{2} \neq \frac{3}{b}$

Решим это неравенство относительно $b$:

$1 \cdot b \neq 2 \cdot 3$

$b \neq 6$

Следовательно, система не имеет решений при $a=-4$ и $b \neq 6$.

Ответ: $a = -4$, $b \neq 6$.