Номер 1.29, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.29. Верно ли равенство, данное ниже, при любом a?

1) $|a|^2 = a^2$;

2) $|a|^3 = a^3$.

1) Равенство $|a|^2 = a^2$

Чтобы определить, верно ли данное равенство для любого значения a, рассмотрим два возможных случая, основанных на определении модуля.

Случай 1: $a \ge 0$ (a — неотрицательное число).
По определению модуля, если $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Подставим это значение в левую часть равенства:
$|a|^2 = a^2$.
Правая часть равенства также равна $a^2$. Таким образом, мы получаем тождество $a^2 = a^2$, которое является верным.

Случай 2: $a < 0$ (a — отрицательное число).
По определению модуля, если $a < 0$, то $|a| = -a$.
Подставим это значение в левую часть равенства:
$|a|^2 = (-a)^2$.
При возведении в четную степень (квадрат) отрицательного числа результат будет положительным: $(-a)^2 = (-1 \cdot a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$.
Правая часть равенства равна $a^2$. Мы снова получаем верное тождество $a^2 = a^2$.

Так как равенство выполняется как для неотрицательных, так и для отрицательных значений a, оно верно при любом a.

Ответ: да, равенство верно при любом $a$.

2) Равенство $|a|^3 = a^3$

Проверим это равенство, также рассмотрев два случая.

Случай 1: $a \ge 0$ (a — неотрицательное число).
Если $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Подставляя в левую часть, получаем: $|a|^3 = a^3$.
Правая часть равна $a^3$. Равенство $a^3 = a^3$ является верным.

Случай 2: $a < 0$ (a — отрицательное число).
Если $a < 0$, то $|a| = -a$.
Подставляя в левую часть, получаем: $|a|^3 = (-a)^3$.
При возведении в нечетную степень (куб) знак сохраняется: $(-a)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 = -1 \cdot a^3 = -a^3$.
Правая часть равенства равна $a^3$.
В этом случае мы получаем равенство $-a^3 = a^3$.
Это равенство верно, только если $2a^3 = 0$, что означает $a = 0$. Однако мы рассматриваем случай $a < 0$, для которого это равенство не выполняется.
Например, возьмем произвольное отрицательное число, скажем $a = -2$:
Левая часть: $|-2|^3 = 2^3 = 8$.
Правая часть: $(-2)^3 = -8$.
Поскольку $8 \ne -8$, равенство неверно.

Так как равенство не выполняется для всех отрицательных значений a, оно не является верным при любом a.

Ответ: нет, равенство неверно при любом $a$ (оно верно только при $a \ge 0$).