Номер 0.9, страница 6 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.9. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 2, \\ 2x - 3y = -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x = -6y, \\ 7y - 2x = 20; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 8x - 3y = 7, \\ 3x + y = 9; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2(x + y) - x = -6, \\ 3x - (x - y) = 0; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x + 5y = -2, \\ 0,5x - y = 6; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 2x + 3(x + y) = 11, \\ 7(x + 3y) - 4y = -23. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 3y = -1 \end{cases}$
Для решения используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 2 + y$
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$2(2 + y) - 3y = -1$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$4 + 2y - 3y = -1$
$4 - y = -1$
$-y = -1 - 4$
$-y = -5$
$y = 5$
Теперь найдем значение $x$, подставив $y=5$ в выражение $x = 2 + y$:
$x = 2 + 5 = 7$
Проверка:
$7 - 5 = 2$ (верно)
$2(7) - 3(5) = 14 - 15 = -1$ (верно)
Ответ: $(7; 5)$

2) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 4x = -6y \\ 7y - 2x = 20 \end{cases}$
Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:
$2x = -3y$
Теперь подставим выражение $-3y$ вместо $2x$ во второе уравнение:
$7y - (-3y) = 20$
$7y + 3y = 20$
$10y = 20$
$y = 2$
Найдем $x$ из уравнения $2x = -3y$:
$2x = -3(2)$
$2x = -6$
$x = -3$
Проверка:
$4(-3) = -12$ и $-6(2) = -12$ (верно)
$7(2) - 2(-3) = 14 + 6 = 20$ (верно)
Ответ: $(-3; 2)$

3) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 8x - 3y = 7 \\ 3x + y = 9 \end{cases}$
Из второго уравнения удобно выразить $y$ через $x$:
$y = 9 - 3x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$8x - 3(9 - 3x) = 7$
$8x - 27 + 9x = 7$
$17x = 7 + 27$
$17x = 34$
$x = 2$
Теперь найдем $y$:
$y = 9 - 3(2) = 9 - 6 = 3$
Проверка:
$8(2) - 3(3) = 16 - 9 = 7$ (верно)
$3(2) + 3 = 6 + 3 = 9$ (верно)
Ответ: $(2; 3)$

4) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2(x + y) - x = -6 \\ 3x - (x - y) = 0 \end{cases}$
Сначала упростим оба уравнения, раскрыв скобки:
Первое уравнение: $2x + 2y - x = -6 \implies x + 2y = -6$
Второе уравнение: $3x - x + y = 0 \implies 2x + y = 0$
Получаем упрощенную систему:
$\begin{cases} x + 2y = -6 \\ 2x + y = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = -2x$.
Подставим в первое уравнение:
$x + 2(-2x) = -6$
$x - 4x = -6$
$-3x = -6$
$x = 2$
Найдем $y$:
$y = -2(2) = -4$
Проверка:
$2(2 + (-4)) - 2 = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$ (верно)
$3(2) - (2 - (-4)) = 6 - (2+4) = 6 - 6 = 0$ (верно)
Ответ: $(2; -4)$

5) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + 5y = -2 \\ 0.5x - y = 6 \end{cases}$
Умножим второе уравнение на 5, чтобы использовать метод сложения:
$5(0.5x - y) = 5(6) \implies 2.5x - 5y = 30$
Теперь система выглядит так:
$\begin{cases} x + 5y = -2 \\ 2.5x - 5y = 30 \end{cases}$
Сложим два уравнения:
$(x + 5y) + (2.5x - 5y) = -2 + 30$
$3.5x = 28$
$x = \frac{28}{3.5} = \frac{280}{35} = 8$
Подставим $x=8$ в первое исходное уравнение:
$8 + 5y = -2$
$5y = -2 - 8$
$5y = -10$
$y = -2$
Проверка:
$8 + 5(-2) = 8 - 10 = -2$ (верно)
$0.5(8) - (-2) = 4 + 2 = 6$ (верно)
Ответ: $(8; -2)$

6) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x + 3(x + y) = 11 \\ 7(x + 3y) - 4y = -23 \end{cases}$
Упростим оба уравнения, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
Первое уравнение: $2x + 3x + 3y = 11 \implies 5x + 3y = 11$
Второе уравнение: $7x + 21y - 4y = -23 \implies 7x + 17y = -23$
Получаем упрощенную систему:
$\begin{cases} 5x + 3y = 11 \\ 7x + 17y = -23 \end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на -5:
$7 \cdot (5x + 3y) = 7 \cdot 11 \implies 35x + 21y = 77$
$-5 \cdot (7x + 17y) = -5 \cdot (-23) \implies -35x - 85y = 115$
Сложим полученные уравнения:
$(35x + 21y) + (-35x - 85y) = 77 + 115$
$-64y = 192$
$y = \frac{192}{-64} = -3$
Подставим $y=-3$ в уравнение $5x + 3y = 11$:
$5x + 3(-3) = 11$
$5x - 9 = 11$
$5x = 20$
$x = 4$
Проверка:
$2(4) + 3(4 + (-3)) = 8 + 3(1) = 11$ (верно)
$7(4 + 3(-3)) - 4(-3) = 7(4 - 9) + 12 = 7(-5) + 12 = -35 + 12 = -23$ (верно)
Ответ: $(4; -3)$