Номер 0.24, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.24. Составьте несколько систем уравнений с двумя неизвестными, не имеющих решения.

Система уравнений с двумя неизвестными не имеет решений, если уравнения, входящие в систему, противоречат друг другу. Для систем линейных уравнений это означает, что графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают, то есть у них нет общих точек.

Общий вид системы двух линейных уравнений с неизвестными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

Такая система не имеет решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Это условие гарантирует, что угловые коэффициенты прямых равны (прямые параллельны), но сдвиги по оси ординат различны (прямые не совпадают).

Ниже приведены несколько примеров таких систем, составленных на основе этого принципа.

Пример 1

Составим простейшую систему, где левые части уравнений идентичны, а правые — различны.

$ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ x + 2y = 6 \end{cases} $

Эта система не может иметь решений, так как одно и то же выражение $x + 2y$ не может одновременно принимать два разных значения (4 и 6). Если попытаться решить ее, например, вычитанием первого уравнения из второго, мы получим неверное равенство: $(x + 2y) - (x + 2y) = 6 - 4$, что приводит к $0 = 2$.

Ответ: $ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ x + 2y = 6 \end{cases} $

Пример 2

Создадим систему, в которой второе уравнение имеет коэффициенты, пропорциональные коэффициентам первого, но свободный член не подчиняется этой пропорции. Возьмем первое уравнение $3x - y = 5$ и умножим его левую часть на 2.

$ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $

Чтобы проверить, что решений нет, умножим первое уравнение на 2. Получим систему:

$ \begin{cases} 6x - 2y = 10 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $

Снова получили противоречие: $10 = 1$. Следовательно, система не имеет решений. Проверка по формуле: $\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{5}{1}$, то есть $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq 5$. Условие выполняется.

Ответ: $ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 1 \end{cases} $

Пример 3

Рассмотрим систему, где одно из уравнений выражено в виде функции $y = kx + b$.

$ \begin{cases} y = -4x + 3 \\ 2y + 8x = 8 \end{cases} $

Используем метод подстановки: подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе.

$ 2(-4x + 3) + 8x = 8 $

$ -8x + 6 + 8x = 8 $

$ 6 = 8 $

Полученное неверное числовое равенство означает, что у системы нет решений. Графиками являются две параллельные прямые: $y = -4x + 3$ и $y = -4x + 4$ (второе уравнение после преобразования $2y = -8x+8$).

Ответ: $ \begin{cases} y = -4x + 3 \\ 2y + 8x = 8 \end{cases} $