Номер 0.27, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.27. Для ремонта здания нанято несколько рабочих, которые могут выполнить эту работу в определенное число дней. Если их будет на 3 человека меньше, то срок работы увеличится на 6 дней. Если же их будет на 2 человека больше, то они смогут выполнить работу на 2 дня раньше срока. Сколько рабочих было нанято и в какой срок они смогут выполнить работу?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ – это первоначальное количество рабочих, а $y$ – запланированный срок выполнения работы в днях.

Общий объем работы, который необходимо выполнить, можно считать постоянной величиной. Он равен произведению количества рабочих на количество дней. Таким образом, объем работы составляет $W = x \cdot y$.

Рассмотрим первое условие, данное в задаче: "Если их будет на 3 человека меньше, то срок работы увеличится на 6 дней".При этом условии количество рабочих становится равным $x - 3$, а срок работы – $y + 6$. Объем работы остается тем же, поэтому мы можем составить первое уравнение:

$(x - 3)(y + 6) = xy$

Теперь рассмотрим второе условие: "Если же их будет на 2 человека больше, то они смогут выполнить работу на 2 дня раньше срока".В этом случае количество рабочих будет $x + 2$, а срок работы – $y - 2$. Объем работы не меняется, что позволяет нам составить второе уравнение:

$(x + 2)(y - 2) = xy$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$\begin{cases} (x - 3)(y + 6) = xy \\ (x + 2)(y - 2) = xy\end{cases}$

Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение:$xy + 6x - 3y - 18 = xy$Вычтем $xy$ из обеих частей:$6x - 3y - 18 = 0$Перенесем 18 в правую часть:$6x - 3y = 18$Разделим обе части уравнения на 3:$2x - y = 6$

Второе уравнение:$xy - 2x + 2y - 4 = xy$Вычтем $xy$ из обеих частей:$-2x + 2y - 4 = 0$Перенесем 4 в правую часть:$-2x + 2y = 4$Разделим обе части уравнения на 2:$-x + y = 2$

Теперь у нас есть более простая система линейных уравнений:$\begin{cases} 2x - y = 6 \\ -x + y = 2\end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:$(2x - y) + (-x + y) = 6 + 2$$2x - x - y + y = 8$$x = 8$

Мы нашли первоначальное количество рабочих. Теперь подставим значение $x = 8$ в любое из упрощенных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем второе уравнение $-x + y = 2$:$-8 + y = 2$$y = 2 + 8$$y = 10$

Таким образом, первоначально было нанято 8 рабочих, которые должны были выполнить работу за 10 дней.

Ответ: было нанято 8 рабочих, и они смогут выполнить работу за 10 дней.