Номер 0.25, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.25. Дана система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 7, \\ ax + 2y = c. \end{cases}$$

Подберите такие значения $a$ и $c$, чтобы система уравнений:

1) имела одно решение;

2) имела бесконечное множество решений.

Рассмотрим данную систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 7, \\ ax + 2y = c. \end{cases} $$ Для анализа количества решений системы можно использовать метод подстановки. Выразим переменную y из первого уравнения и подставим во второе.

Из первого уравнения получаем: $y = 7 - x$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы: $ax + 2(7 - x) = c$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы выделить переменную x: $ax + 14 - 2x = c$ $ax - 2x = c - 14$ $(a - 2)x = c - 14$

Получилось линейное уравнение относительно переменной x. Количество решений исходной системы зависит от того, сколько решений имеет это уравнение.

1) имела одно решение

Система уравнений будет иметь одно-единственное решение в том случае, если уравнение $(a - 2)x = c - 14$ имеет ровно одно решение для x. Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной x не равен нулю.

Математически это условие записывается так: $a - 2 \neq 0$, что эквивалентно $a \neq 2$.

Если это условие выполнено, мы можем найти уникальное значение x по формуле $x = \frac{c - 14}{a - 2}$. После этого можно найти и единственное значение y: $y = 7 - x$. При этом параметр c может принимать любое действительное значение.

Таким образом, для того чтобы система имела одно решение, нужно выбрать любое значение a, не равное 2, и любое значение c.

Ответ: система имеет одно решение при $a \neq 2$ и любом значении c. Например, можно взять $a = 1$ и $c = 1$.

2) имела бесконечное множество решений

Система будет иметь бесконечное множество решений, если уравнение $(a - 2)x = c - 14$ имеет бесконечное множество решений. Такое возможно только в том случае, когда уравнение представляет собой тождество $0 \cdot x = 0$.

Для этого необходимо, чтобы и коэффициент при x, и правая часть уравнения одновременно были равны нулю:
1. Коэффициент при x равен нулю: $a - 2 = 0 \implies a = 2$.
2. Свободный член (правая часть) равен нулю: $c - 14 = 0 \implies c = 14$.

Следовательно, оба условия должны выполняться одновременно. Если $a = 2$ и $c = 14$, то второе уравнение системы ($2x + 2y = 14$) становится эквивалентным первому ($x + y = 7$), так как его можно получить, умножив первое уравнение на 2. В этом случае оба уравнения описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости, и любая точка этой прямой является решением системы.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений при $a=2$ и $c=14$.