Номер 1.59, страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.59. Определите знак выражения:

1) $a^{2n}$;

2) $a^{2n+1}$,

где $a<0$ и $n \geq 0$ – целое число.

1) $a^{2n}$

Для определения знака выражения $a^{2n}$ воспользуемся заданными условиями: $a < 0$ (число $a$ отрицательное) и $n$ — целое положительное число ($n \in \{1, 2, 3, \dots\}$).

Рассмотрим показатель степени $2n$. Поскольку $n$ является целым положительным числом, произведение $2n$ всегда будет четным положительным числом. Например, если $n=1$, то $2n=2$; если $n=2$, то $2n=4$, и так далее.

Согласно правилу возведения в степень, любое отрицательное число, возведенное в четную степень, в результате дает положительное число. Это происходит потому, что при перемножении четного числа отрицательных сомножителей знаки «минус» попарно уничтожаются.

Например, $(-3)^2 = 9 > 0$, $(-3)^4 = 81 > 0$.

Также можно воспользоваться свойствами степеней: $a^{2n} = (a^2)^n$. Так как $a < 0$, то $a^2 = a \cdot a$ будет произведением двух отрицательных чисел, что дает положительный результат ($a^2 > 0$). Возведение положительного числа $a^2$ в любую целую положительную степень $n$ также дает положительное число.

Следовательно, выражение $a^{2n}$ всегда будет положительным.

Ответ: выражение $a^{2n}$ положительно (знак «+»).

2) $a^{2n+1}$

Теперь определим знак выражения $a^{2n+1}$ при тех же условиях: $a < 0$ и $n$ — целое положительное число.

Рассмотрим показатель степени $2n+1$. Поскольку $2n$ — это четное число, то $2n+1$ всегда будет нечетным числом. Так как $n$ — целое положительное число, $2n+1$ будет нечетным положительным числом (при $n=1$, показатель равен $3$; при $n=2$ — $5$; и так далее).

Согласно правилу возведения в степень, любое отрицательное число, возведенное в нечетную степень, в результате дает отрицательное число. При перемножении нечетного количества отрицательных сомножителей один знак «минус» всегда остается.

Например, $(-3)^3 = -27 < 0$, $(-3)^5 = -243 < 0$.

Также можно использовать свойство степеней: $a^{2n+1} = a^{2n} \cdot a^1 = a^{2n} \cdot a$. Из решения первого пункта мы знаем, что множитель $a^{2n}$ всегда положителен ($a^{2n} > 0$). Второй множитель $a$ по условию отрицателен ($a < 0$). Произведение положительного числа на отрицательное всегда дает отрицательное число.

Следовательно, выражение $a^{2n+1}$ всегда будет отрицательным.

Ответ: выражение $a^{2n+1}$ отрицательно (знак «−»).