Номер 1.161, страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.161. Выполните действия:

1) $4,125 \cdot 10^7 + 9,29 \cdot 10^7$;

2) $8,927 \cdot 10^{-5} + 5,32 \cdot 10^{-5}$.

Запишите сумму в стандартном виде, оставляя после запятой 1 и 2 значащие цифры. Найдите абсолютную и относительную погрешности этих приближенных значений.

1) $4,125 \cdot 10^7 + 9,29 \cdot 10^7$

Шаг 1: Выполним сложение и приведем сумму к стандартному виду.
Поскольку степени оснований $10$ одинаковы, мы можем вынести общий множитель $10^7$ за скобки:

$(4,125 + 9,29) \cdot 10^7 = 13,415 \cdot 10^7$

Стандартный вид числа имеет форму $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. Приведем наш результат к этому виду:

$13,415 \cdot 10^7 = (1,3415 \cdot 10^1) \cdot 10^7 = 1,3415 \cdot 10^{1+7} = 1,3415 \cdot 10^8$.

Это точное значение суммы, обозначим его как $x$.

Шаг 2: Округление до 1 значащей цифры после запятой и нахождение погрешностей.
Округляем точное значение $x = 1,3415 \cdot 10^8$, оставляя одну цифру после запятой. Получаем приближенное значение $a_1 = 1,3 \cdot 10^8$.

Абсолютная погрешность $\Delta a_1$ вычисляется как модуль разности между точным и приближенным значениями:

$\Delta a_1 = |x - a_1| = |1,3415 \cdot 10^8 - 1,3 \cdot 10^8| = |(1,3415 - 1,3) \cdot 10^8| = 0,0415 \cdot 10^8 = 4,15 \cdot 10^6$.

Относительная погрешность $\delta a_1$ вычисляется как отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения:

$\delta a_1 = \frac{\Delta a_1}{|x|} = \frac{0,0415 \cdot 10^8}{1,3415 \cdot 10^8} = \frac{0,0415}{1,3415} \approx 0,0309$ (или $3,09\%$).

Шаг 3: Округление до 2 значащих цифр после запятой и нахождение погрешностей.
Округляем точное значение $x = 1,3415 \cdot 10^8$, оставляя две цифры после запятой. Получаем приближенное значение $a_2 = 1,34 \cdot 10^8$.

Абсолютная погрешность $\Delta a_2$:

$\Delta a_2 = |x - a_2| = |1,3415 \cdot 10^8 - 1,34 \cdot 10^8| = |(1,3415 - 1,34) \cdot 10^8| = 0,0015 \cdot 10^8 = 1,5 \cdot 10^5$.

Относительная погрешность $\delta a_2$:

$\delta a_2 = \frac{\Delta a_2}{|x|} = \frac{0,0015 \cdot 10^8}{1,3415 \cdot 10^8} = \frac{0,0015}{1,3415} \approx 0,0011$ (или $0,11\%$).

Ответ:
Точная сумма в стандартном виде: $1,3415 \cdot 10^8$.
Для приближения с 1 значащей цифрой после запятой ($1,3 \cdot 10^8$):
- Абсолютная погрешность: $4,15 \cdot 10^6$
- Относительная погрешность: $\approx 0,0309$ (или $3,09\%$)
Для приближения с 2 значащими цифрами после запятой ($1,34 \cdot 10^8$):
- Абсолютная погрешность: $1,5 \cdot 10^5$
- Относительная погрешность: $\approx 0,0011$ (или $0,11\%$)

2) $8,927 \cdot 10^{-5} + 5,32 \cdot 10^{-5}$

Шаг 1: Выполним сложение и приведем сумму к стандартному виду.
Выносим общий множитель $10^{-5}$ за скобки:

$(8,927 + 5,32) \cdot 10^{-5} = 14,247 \cdot 10^{-5}$

Приводим результат к стандартному виду $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$:

$14,247 \cdot 10^{-5} = (1,4247 \cdot 10^1) \cdot 10^{-5} = 1,4247 \cdot 10^{1-5} = 1,4247 \cdot 10^{-4}$.

Это точное значение суммы, обозначим его как $y$.

Шаг 2: Округление до 1 значащей цифры после запятой и нахождение погрешностей.
Округляем точное значение $y = 1,4247 \cdot 10^{-4}$, оставляя одну цифру после запятой. Получаем приближенное значение $b_1 = 1,4 \cdot 10^{-4}$.

Абсолютная погрешность $\Delta b_1$:

$\Delta b_1 = |y - b_1| = |1,4247 \cdot 10^{-4} - 1,4 \cdot 10^{-4}| = |(1,4247 - 1,4) \cdot 10^{-4}| = 0,0247 \cdot 10^{-4} = 2,47 \cdot 10^{-6}$.

Относительная погрешность $\delta b_1$:

$\delta b_1 = \frac{\Delta b_1}{|y|} = \frac{0,0247 \cdot 10^{-4}}{1,4247 \cdot 10^{-4}} = \frac{0,0247}{1,4247} \approx 0,0173$ (или $1,73\%$).

Шаг 3: Округление до 2 значащих цифр после запятой и нахождение погрешностей.
Округляем точное значение $y = 1,4247 \cdot 10^{-4}$, оставляя две цифры после запятой. Получаем приближенное значение $b_2 = 1,42 \cdot 10^{-4}$.

Абсолютная погрешность $\Delta b_2$:

$\Delta b_2 = |y - b_2| = |1,4247 \cdot 10^{-4} - 1,42 \cdot 10^{-4}| = |(1,4247 - 1,42) \cdot 10^{-4}| = 0,0047 \cdot 10^{-4} = 4,7 \cdot 10^{-7}$.

Относительная погрешность $\delta b_2$:

$\delta b_2 = \frac{\Delta b_2}{|y|} = \frac{0,0047 \cdot 10^{-4}}{1,4247 \cdot 10^{-4}} = \frac{0,0047}{1,4247} \approx 0,0033$ (или $0,33\%$).

Ответ:
Точная сумма в стандартном виде: $1,4247 \cdot 10^{-4}$.
Для приближения с 1 значащей цифрой после запятой ($1,4 \cdot 10^{-4}$):
- Абсолютная погрешность: $2,47 \cdot 10^{-6}$
- Относительная погрешность: $\approx 0,0173$ (или $1,73\%$)
Для приближения с 2 значащими цифрами после запятой ($1,42 \cdot 10^{-4}$):
- Абсолютная погрешность: $4,7 \cdot 10^{-7}$
- Относительная погрешность: $\approx 0,0033$ (или $0,33\%$)