Номер 1.165, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.165. Результаты вычислений в упражнении 1.164 запишите в стандартном виде так, чтобы после запятой оставались 1, 2 и 3 значащие цифры. Найдите их относительные погрешности.

Для решения задачи необходимо сначала найти результаты вычислений в упражнении 1.164. Предположим, что это следующие вычисления:

а) $(1.25 \cdot 10^6) \cdot (4.8 \cdot 10^{-10}) = 6 \cdot 10^{-4}$

б) $(9.6 \cdot 10^{-12}) \cdot (1.5 \cdot 10^3) = 1.44 \cdot 10^{-8}$

в) $(1.28 \cdot 10^{11}) : (5.12 \cdot 10^6) = 2.5 \cdot 10^4$

г) $(4.48 \cdot 10^{-4}) : (3.5 \cdot 10^{-9}) = 1.28 \cdot 10^5$

Далее для каждого результата ($A$) найдем приближенные значения ($a$), округленные до 1, 2 и 3 значащих цифр, и вычислим их относительные погрешности по формуле $\delta = \frac{|A - a|}{|A|}$.

а)

Точное значение: $A = 6 \cdot 10^{-4}$. Это число уже имеет одну значащую цифру.

1. Приближение с 1 значащей цифрой:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_1 = 6 \cdot 10^{-4}$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|6 \cdot 10^{-4} - 6 \cdot 10^{-4}|}{|6 \cdot 10^{-4}|} = 0$, или $0\%$.

2. Приближение с 2 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_2 = 6.0 \cdot 10^{-4}$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = \frac{|6 \cdot 10^{-4} - 6.0 \cdot 10^{-4}|}{|6 \cdot 10^{-4}|} = 0$, или $0\%$.

3. Приближение с 3 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_3 = 6.00 \cdot 10^{-4}$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = \frac{|6 \cdot 10^{-4} - 6.00 \cdot 10^{-4}|}{|6 \cdot 10^{-4}|} = 0$, или $0\%$.

Ответ: приближения в стандартном виде: $6 \cdot 10^{-4}$, $6.0 \cdot 10^{-4}$, $6.00 \cdot 10^{-4}$; относительные погрешности для всех приближений равны $0\%$.

б)

Точное значение: $A = 1.44 \cdot 10^{-8}$. Это число имеет три значащие цифры.

1. Приближение с 1 значащей цифрой:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_1 = 1 \cdot 10^{-8}$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|1.44 \cdot 10^{-8} - 1 \cdot 10^{-8}|}{|1.44 \cdot 10^{-8}|} = \frac{0.44 \cdot 10^{-8}}{1.44 \cdot 10^{-8}} = \frac{44}{144} = \frac{11}{36} \approx 0.306$, или $30.6\%$.

2. Приближение с 2 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_2 = 1.4 \cdot 10^{-8}$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = \frac{|1.44 \cdot 10^{-8} - 1.4 \cdot 10^{-8}|}{|1.44 \cdot 10^{-8}|} = \frac{0.04 \cdot 10^{-8}}{1.44 \cdot 10^{-8}} = \frac{4}{144} = \frac{1}{36} \approx 0.028$, или $2.8\%$.

3. Приближение с 3 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_3 = 1.44 \cdot 10^{-8}$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = 0$, или $0\%$.

Ответ: приближения в стандартном виде: $1 \cdot 10^{-8}$, $1.4 \cdot 10^{-8}$, $1.44 \cdot 10^{-8}$; относительные погрешности: $\frac{11}{36} \approx 30.6\%$, $\frac{1}{36} \approx 2.8\%$, $0\%$.

в)

Точное значение: $A = 2.5 \cdot 10^4$. Это число имеет две значащие цифры.

1. Приближение с 1 значащей цифрой:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_1 = 3 \cdot 10^4$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|2.5 \cdot 10^4 - 3 \cdot 10^4|}{|2.5 \cdot 10^4|} = \frac{0.5 \cdot 10^4}{2.5 \cdot 10^4} = \frac{0.5}{2.5} = \frac{1}{5} = 0.2$, или $20\%$.

2. Приближение с 2 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_2 = 2.5 \cdot 10^4$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = 0$, или $0\%$.

3. Приближение с 3 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_3 = 2.50 \cdot 10^4$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = 0$, или $0\%$.

Ответ: приближения в стандартном виде: $3 \cdot 10^4$, $2.5 \cdot 10^4$, $2.50 \cdot 10^4$; относительные погрешности: $20\%$, $0\%$, $0\%$.

г)

Точное значение: $A = 1.28 \cdot 10^5$. Это число имеет три значащие цифры.

1. Приближение с 1 значащей цифрой:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_1 = 1 \cdot 10^5$.

Относительная погрешность: $\delta_1 = \frac{|1.28 \cdot 10^5 - 1 \cdot 10^5|}{|1.28 \cdot 10^5|} = \frac{0.28 \cdot 10^5}{1.28 \cdot 10^5} = \frac{0.28}{1.28} = \frac{28}{128} = \frac{7}{32} = 0.21875$, или $21.875\%$.

2. Приближение с 2 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_2 = 1.3 \cdot 10^5$.

Относительная погрешность: $\delta_2 = \frac{|1.28 \cdot 10^5 - 1.3 \cdot 10^5|}{|1.28 \cdot 10^5|} = \frac{|-0.02 \cdot 10^5|}{1.28 \cdot 10^5} = \frac{0.02}{1.28} = \frac{2}{128} = \frac{1}{64} = 0.015625$, или $1.5625\%$.

3. Приближение с 3 значащими цифрами:

Приближенное значение в стандартном виде: $a_3 = 1.28 \cdot 10^5$.

Относительная погрешность: $\delta_3 = 0$, или $0\%$.

Ответ: приближения в стандартном виде: $1 \cdot 10^5$, $1.3 \cdot 10^5$, $1.28 \cdot 10^5$; относительные погрешности: $21.875\%$, $1.5625\%$, $0\%$.