Номер 1.166, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.166. Покажите, что каждое из чисел 2,66 и 2,67 является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,01. Какое из них является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,005?

Покажите, что каждое из чисел 2,66 и 2,67 является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,01.
Число $a$ является приближенным значением числа $x$ с точностью до $h$, если выполняется неравенство $|x - a| \le h$ (модуль разности между точным и приближенным значением не превышает точность).
В нашей задаче точное число $x = 2\frac{2}{3}$, а точность $h = 0,01$.
Сначала представим число $x$ в виде бесконечной десятичной дроби:
$x = 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} = 2,666... = 2,(6)$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел.
1. Для числа $a_1 = 2,66$ найдем абсолютную погрешность (модуль разности):
$|x - a_1| = |2,(6) - 2,66| = |2,666... - 2,660| = 0,00666... = 0,00(6)$.
Сравним полученную погрешность с заданной точностью: $0,00(6) < 0,01$.
Так как условие выполняется, число 2,66 является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,01.

2. Для числа $a_2 = 2,67$ найдем абсолютную погрешность:
$|x - a_2| = |2,(6) - 2,67| = |2,666... - 2,670| = |-0,00333...| = 0,00333... = 0,00(3)$.
Сравним полученную погрешность с заданной точностью: $0,00(3) < 0,01$.
Условие также выполняется, следовательно, число 2,67 является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,01.

Ответ: Для числа 2,66: $|2\frac{2}{3} - 2,66| = 0,00(6) < 0,01$. Для числа 2,67: $|2\frac{2}{3} - 2,67| = 0,00(3) < 0,01$. Поскольку для обоих чисел модуль разности (абсолютная погрешность) меньше 0,01, оба числа являются приближенными значениями с заданной точностью.

Какое из них является приближенным значением числа $2\frac{2}{3}$ с точностью до 0,005?
Теперь проверим те же числа, но с новой точностью $h = 0,005$. Мы будем использовать абсолютные погрешности, вычисленные в предыдущем пункте.

1. Для числа $a_1 = 2,66$:
Абсолютная погрешность равна $0,00(6)$.
Сравним с новой точностью: $0,00(6) > 0,005$.
Неравенство $|x - a_1| \le h$ не выполняется, так как $0,00666... > 0,005$.

2. Для числа $a_2 = 2,67$:
Абсолютная погрешность равна $0,00(3)$.
Сравним с новой точностью: $0,00(3) < 0,005$.
Неравенство $|x - a_2| \le h$ выполняется, так как $0,00333... < 0,005$.

Следовательно, только число 2,67 является приближенным значением с точностью до 0,005.
Ответ: 2,67.