Номер 1.162, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.162. Обратите обыкновенные дроби в десятичные периодические дроби и найдите их десятичные приближения до сотых. Найдите абсолютную погрешность приближенного числа:

1) $3\frac{2}{3}$; 2) $2\frac{5}{6}$; 3) $4\frac{10}{11}$; 4) $3\frac{1}{12}$.

1) $3\frac{2}{3}$

Сначала обратим обыкновенную дробь в десятичную периодическую. Целая часть $3$ остается без изменений, а дробную часть $\frac{2}{3}$ преобразуем делением числителя на знаменатель в столбик: $2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$. Таким образом, исходная дробь равна $3\frac{2}{3} = 3,666... = 3,(6)$.

Далее найдем десятичное приближение до сотых. Для этого округлим число $3,666...$ до двух знаков после запятой. Так как третья цифра после запятой ($6$) больше или равна $5$, то вторую цифру после запятой увеличиваем на единицу. $3,(6) \approx 3,67$.

Теперь найдем абсолютную погрешность приближенного числа. Абсолютная погрешность равна модулю разности между точным значением числа и его приближением. $|3\frac{2}{3} - 3,67| = |3\frac{2}{3} - 3\frac{67}{100}| = |\frac{2}{3} - \frac{67}{100}| = |\frac{2 \cdot 100}{3 \cdot 100} - \frac{67 \cdot 3}{100 \cdot 3}| = |\frac{200}{300} - \frac{201}{300}| = |-\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

Ответ: $3,(6)$; $3,67$; $\frac{1}{300}$.

2) $2\frac{5}{6}$

Обратим дробь в десятичную периодическую. Целая часть $2$ сохраняется. Дробную часть $\frac{5}{6}$ получаем делением: $5 \div 6 = 0,8333... = 0,8(3)$. Следовательно, $2\frac{5}{6} = 2,8333... = 2,8(3)$.

Найдем десятичное приближение до сотых. Округляем $2,833...$ до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой ($3$) меньше $5$, поэтому вторую цифру оставляем без изменений. $2,8(3) \approx 2,83$.

Найдем абсолютную погрешность приближения. $|2\frac{5}{6} - 2,83| = |2\frac{5}{6} - 2\frac{83}{100}| = |\frac{5}{6} - \frac{83}{100}| = |\frac{5 \cdot 50}{6 \cdot 50} - \frac{83 \cdot 3}{100 \cdot 3}| = |\frac{250}{300} - \frac{249}{300}| = |\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

Ответ: $2,8(3)$; $2,83$; $\frac{1}{300}$.

3) $4\frac{10}{11}$

Обратим дробь в десятичную периодическую. Целая часть $4$ сохраняется. Преобразуем дробную часть $\frac{10}{11}$: $10 \div 11 = 0,9090... = 0,(90)$. Значит, $4\frac{10}{11} = 4,9090... = 4,(90)$.

Найдем десятичное приближение до сотых. Округляем $4,9090...$ до двух знаков после запятой. Третья цифра ($9$) больше или равна $5$, поэтому вторую цифру увеличиваем на единицу. $4,(90) \approx 4,91$.

Найдем абсолютную погрешность. $|4\frac{10}{11} - 4,91| = |4\frac{10}{11} - 4\frac{91}{100}| = |\frac{10}{11} - \frac{91}{100}| = |\frac{10 \cdot 100}{11 \cdot 100} - \frac{91 \cdot 11}{100 \cdot 11}| = |\frac{1000}{1100} - \frac{1001}{1100}| = |-\frac{1}{1100}| = \frac{1}{1100}$.

Ответ: $4,(90)$; $4,91$; $\frac{1}{1100}$.

4) $3\frac{1}{12}$

Обратим дробь в десятичную периодическую. Целая часть $3$ сохраняется. Преобразуем дробную часть $\frac{1}{12}$: $1 \div 12 = 0,08333... = 0,08(3)$. Следовательно, $3\frac{1}{12} = 3,08333... = 3,08(3)$.

Найдем десятичное приближение до сотых. Округляем $3,0833...$ до двух знаков после запятой. Третья цифра ($3$) меньше $5$, поэтому вторую цифру оставляем без изменений. $3,08(3) \approx 3,08$.

Найдем абсолютную погрешность. $|3\frac{1}{12} - 3,08| = |3\frac{1}{12} - 3\frac{8}{100}| = |\frac{1}{12} - \frac{8}{100}| = |\frac{1 \cdot 25}{12 \cdot 25} - \frac{8 \cdot 3}{100 \cdot 3}| = |\frac{25}{300} - \frac{24}{300}| = |\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

Ответ: $3,08(3)$; $3,08$; $\frac{1}{300}$.