Номер 1.163, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.163. Округлите данные числа до сотых и найдите относительную погрешность приближенного значения:

1) $3.\overline{6}$;

2) $2.7\overline{2}$;

3) $2.\overline{72}$;

4) $2.89\overline{3}$.

Для решения задачи необходимо для каждого числа выполнить следующие шаги:

1. Перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную, чтобы получить точное значение числа $x$.
2. Округлить данное число до сотых, чтобы получить приближенное значение $a$.
3. Вычислить абсолютную погрешность как модуль разности точного и приближенного значений: $\Delta = |x - a|$.
4. Вычислить относительную погрешность как отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: $\delta = \frac{\Delta}{|x|}$.

1) 3,(6)

Точное значение числа $x = 3,(6)$.
Пусть $x = 3,666...$ Тогда $10x = 36,666...$
$10x - x = 36,666... - 3,666... \Rightarrow 9x = 33 \Rightarrow x = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}$.

Округление до сотых: $3,666... \approx 3,67$. Приближенное значение $a = 3,67$.

Абсолютная погрешность:
$\Delta = |x - a| = |\frac{11}{3} - 3,67| = |\frac{11}{3} - \frac{367}{100}| = |\frac{1100 - 1101}{300}| = |-\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/300}{|11/3|} = \frac{1}{300} \cdot \frac{3}{11} = \frac{3}{3300} = \frac{1}{1100}$.

Ответ: приближенное значение $3,67$; относительная погрешность $\frac{1}{1100}$.

2) 2,7(2)

Точное значение числа $x = 2,7(2)$.
Пусть $x = 2,7222...$ Тогда $10x = 27,222...$ и $100x = 272,222...$
$100x - 10x = 272,222... - 27,222... \Rightarrow 90x = 245 \Rightarrow x = \frac{245}{90} = \frac{49}{18}$.

Округление до сотых: $2,7222... \approx 2,72$. Приближенное значение $a = 2,72$.

Абсолютная погрешность:
$\Delta = |x - a| = |\frac{49}{18} - 2,72| = |\frac{49}{18} - \frac{272}{100}| = |\frac{49}{18} - \frac{68}{25}| = |\frac{1225 - 1224}{450}| = \frac{1}{450}$.

Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/450}{|49/18|} = \frac{1}{450} \cdot \frac{18}{49} = \frac{1}{25 \cdot 49} = \frac{1}{1225}$.

Ответ: приближенное значение $2,72$; относительная погрешность $\frac{1}{1225}$.

3) 2,(72)

Точное значение числа $x = 2,(72)$.
Пусть $x = 2,7272...$ Тогда $100x = 272,7272...$
$100x - x = 272,7272... - 2,7272... \Rightarrow 99x = 270 \Rightarrow x = \frac{270}{99} = \frac{30}{11}$.

Округление до сотых: $2,7272... \approx 2,73$. Приближенное значение $a = 2,73$.

Абсолютная погрешность:
$\Delta = |x - a| = |\frac{30}{11} - 2,73| = |\frac{30}{11} - \frac{273}{100}| = |\frac{3000 - 3003}{1100}| = |-\frac{3}{1100}| = \frac{3}{1100}$.

Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{3/1100}{|30/11|} = \frac{3}{1100} \cdot \frac{11}{30} = \frac{1}{100 \cdot 10} = \frac{1}{1000}$.

Ответ: приближенное значение $2,73$; относительная погрешность $\frac{1}{1000}$.

4) 2,89(3)

Точное значение числа $x = 2,89(3)$.
Пусть $x = 2,89333...$ Тогда $100x = 289,333...$ и $1000x = 2893,333...$
$1000x - 100x = 2893,333... - 289,333... \Rightarrow 900x = 2604 \Rightarrow x = \frac{2604}{900} = \frac{217}{75}$.

Округление до сотых: $2,89333... \approx 2,89$. Приближенное значение $a = 2,89$.

Абсолютная погрешность:
$\Delta = |x - a| = |\frac{217}{75} - 2,89| = |\frac{217}{75} - \frac{289}{100}| = |\frac{217 \cdot 4 - 289 \cdot 3}{300}| = |\frac{868 - 867}{300}| = \frac{1}{300}$.

Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{1/300}{|217/75|} = \frac{1}{300} \cdot \frac{75}{217} = \frac{1}{4 \cdot 217} = \frac{1}{868}$.

Ответ: приближенное значение $2,89$; относительная погрешность $\frac{1}{868}$.