Номер 1.136, страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.136. Запишите формулу общего члена последовательности, заданной в упражнении 1.121.

В задаче требуется записать формулу общего члена для последовательностей, заданных в упражнении 1.121. В этом упражнении последовательности определены перечислением их первых членов. Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Нумерация членов начинается с $n=1$.

а) Дана последовательность: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Проанализируем ее первые члены:
Первый член: $a_1 = 1 = 1^2$
Второй член: $a_2 = 4 = 2^2$
Третий член: $a_3 = 9 = 3^2$
Четвертый член: $a_4 = 16 = 4^2$
Пятый член: $a_5 = 25 = 5^2$
Закономерность состоит в том, что каждый член последовательности равен квадрату своего порядкового номера $n$.
Следовательно, формула общего члена: $a_n = n^2$.
Ответ: $a_n = n^2$.

б) Дана последовательность: 1, 8, 27, 64, 125, ...
Проанализируем ее первые члены:
Первый член: $a_1 = 1 = 1^3$
Второй член: $a_2 = 8 = 2^3$
Третий член: $a_3 = 27 = 3^3$
Четвертый член: $a_4 = 64 = 4^3$
Пятый член: $a_5 = 125 = 5^3$
Закономерность состоит в том, что каждый член последовательности равен кубу своего порядкового номера $n$.
Следовательно, формула общего члена: $a_n = n^3$.
Ответ: $a_n = n^3$.

в) Дана последовательность: 2, 4, 8, 16, 32, ...
Проанализируем ее первые члены:
Первый член: $a_1 = 2 = 2^1$
Второй член: $a_2 = 4 = 2^2$
Третий член: $a_3 = 8 = 2^3$
Четвертый член: $a_4 = 16 = 2^4$
Пятый член: $a_5 = 32 = 2^5$
Данная последовательность является геометрической прогрессией. Каждый ее член является степенью числа 2, где показатель степени равен порядковому номеру члена $n$.
Следовательно, формула общего члена: $a_n = 2^n$.
Ответ: $a_n = 2^n$.

г) Дана последовательность: 5, 10, 15, 20, 25, ...
Проанализируем ее первые члены:
Первый член: $a_1 = 5 = 5 \cdot 1$
Второй член: $a_2 = 10 = 5 \cdot 2$
Третий член: $a_3 = 15 = 5 \cdot 3$
Четвертый член: $a_4 = 20 = 5 \cdot 4$
Пятый член: $a_5 = 25 = 5 \cdot 5$
Данная последовательность является арифметической прогрессией. Каждый ее член равен произведению числа 5 на порядковый номер члена $n$.
Следовательно, формула общего члена: $a_n = 5n$.
Ответ: $a_n = 5n$.