Номер 2.99, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.99. Упростите выражение:

1) $(\frac{1}{3}a^5 \cdot y^3)^2 \cdot (-3ay)^3$;

2) $(-30x^2y^2)^2 : (-10xy^2)^3$.

1) $(\frac{1}{3}a^5y^3)^2 \cdot (-3ay)^3$

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Сначала возведем в степень каждый из множителей:

$(\frac{1}{3}a^5y^3)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (y^3)^2 = \frac{1}{9}a^{5 \cdot 2}y^{3 \cdot 2} = \frac{1}{9}a^{10}y^6$

$(-3ay)^3 = (-3)^3 \cdot a^3 \cdot y^3 = -27a^3y^3$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{1}{9}a^{10}y^6 \cdot (-27a^3y^3) = (\frac{1}{9} \cdot (-27)) \cdot (a^{10} \cdot a^3) \cdot (y^6 \cdot y^3)$

Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(\frac{1}{9} \cdot (-27)) = -3$

$a^{10} \cdot a^3 = a^{10+3} = a^{13}$

$y^6 \cdot y^3 = y^{6+3} = y^9$

Собираем все вместе:

$-3a^{13}y^9$

Ответ: $-3a^{13}y^9$

2) $(-30x^2y^2)^2 : (-10xy^2)^3$

Для упрощения этого выражения также используем свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, а также свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Представим деление в виде дроби:

$\frac{(-30x^2y^2)^2}{(-10xy^2)^3}$

Возведем в степень числитель и знаменатель:

Числитель: $(-30x^2y^2)^2 = (-30)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^2)^2 = 900x^{2 \cdot 2}y^{2 \cdot 2} = 900x^4y^4$

Знаменатель: $(-10xy^2)^3 = (-10)^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = -1000x^3y^{2 \cdot 3} = -1000x^3y^6$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{900x^4y^4}{-1000x^3y^6}$

Теперь сократим дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$\frac{900}{-1000} = -\frac{9}{10}$

Затем сократим переменные, используя правило деления степеней:

$\frac{x^4}{x^3} = x^{4-3} = x^1 = x$

$\frac{y^4}{y^6} = y^{4-6} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$

Соберем все части вместе:

$-\frac{9}{10} \cdot x \cdot \frac{1}{y^2} = -\frac{9x}{10y^2}$

Ответ: $-\frac{9x}{10y^2}$