Номер 2.92, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.92. Докажите, что сумма двух последовательных степеней с основанием 5 делится на 30.

Пусть даны две последовательные степени с основанием 5. Их можно представить в виде $5^n$ и $5^{n+1}$, где $n$ — некоторое натуральное число ($n \ge 1$).

Требуется доказать, что их сумма, которую обозначим как $S$, делится на 30.

Запишем сумму и преобразуем ее, вынеся за скобки общий множитель $5^n$: $S = 5^n + 5^{n+1} = 5^n + 5^n \cdot 5^1 = 5^n(1 + 5)$

Выполнив сложение в скобках, получим: $S = 5^n \cdot 6$

Чтобы доказать делимость на 30, необходимо показать, что выражение $S$ содержит множитель 30. Для этого представим $5^n$ как $5 \cdot 5^{n-1}$ (это возможно, так как $n \ge 1$).

$S = (5 \cdot 5^{n-1}) \cdot 6$

Перегруппируем множители: $S = (5 \cdot 6) \cdot 5^{n-1} = 30 \cdot 5^{n-1}$

Поскольку $n$ — натуральное число, показатель степени $n-1$ является целым неотрицательным числом. Это значит, что $5^{n-1}$ всегда будет целым числом (например, при $n=1$, $5^0=1$; при $n=2$, $5^1=5$; и т.д.).

Таким образом, сумма $S$ всегда может быть представлена как произведение числа 30 и некоторого целого числа $k=5^{n-1}$. По определению делимости, это означает, что сумма двух последовательных степеней с основанием 5 всегда делится на 30. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Сумма двух последовательных степеней с основанием 5 равна $5^n + 5^{n+1} = 5^n(1+5) = 6 \cdot 5^n = 30 \cdot 5^{n-1}$, что очевидно делится на 30 для любого натурального $n \ge 1$.