Страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.11. В бак объемом 200 л наливают бензин со скоростью 2 л/с. Через $t$ с в баке остается пустота объемом $V$ л. Выразите объем $V$ во времени $t$. Какова область определения функции $V(t)$? Найдите значения $V(10)$, $V(30)$. Можно ли найти значение $V(120)$? Обоснуйте ответ.

Выразите объем V во времени t.

Общий объем бака составляет 200 литров. Бензин наливают со скоростью 2 л/с. За время $t$ секунд в бак будет налито $2 \cdot t$ литров бензина. Объем пустоты $V$ в баке в момент времени $t$ равен разности общего объема бака и объема уже налитого бензина. Следовательно, функция, выражающая объем пустоты $V$ через время $t$, имеет вид: $V(t) = 200 - 2t$.

Ответ: $V(t) = 200 - 2t$.

Какова область определения функции V(t)?

Область определения функции $V(t)$ в контексте данной физической задачи определяется следующими условиями: 1. Время $t$ не может быть отрицательным, так как процесс начинается с момента $t=0$. Таким образом, $t \ge 0$. 2. Объем пустоты $V$ также не может быть отрицательным, так как он не может быть меньше нуля. Таким образом, $V(t) \ge 0$. Решим неравенство $V(t) \ge 0$: $200 - 2t \ge 0$ $200 \ge 2t$ $100 \ge t$ или $t \le 100$. Объединяя оба условия ($t \ge 0$ и $t \le 100$), получаем, что время $t$ изменяется в пределах от 0 до 100 секунд включительно. Этот интервал времени соответствует процессу наполнения бака от пустого до полного.

Ответ: Область определения функции $D(V) = [0, 100]$.

Найдите значения V(10), V(30).

Для нахождения значений функции подставим указанные значения $t$ в формулу $V(t) = 200 - 2t$. При $t = 10$ с: $V(10) = 200 - 2 \cdot 10 = 200 - 20 = 180$ л. При $t = 30$ с: $V(30) = 200 - 2 \cdot 30 = 200 - 60 = 140$ л.

Ответ: $V(10) = 180$ л, $V(30) = 140$ л.

Можно ли найти значение V(120)? Обоснуйте ответ.

Найти значение $V(120)$ в рамках данной задачи нельзя. Обоснование: Как было определено ранее, область определения функции $V(t)$, описывающей объем пустоты в баке, - это временной интервал $[0, 100]$. Значение $t = 120$ секунд не входит в эту область определения. Физический смысл этого ограничения заключается в том, что при $t = 100$ секунд бак становится полностью полным ($V(100) = 200 - 2 \cdot 100 = 0$ л). Процесс, описываемый функцией, на этом завершается. После 100 секунд формула $V(t) = 200 - 2t$ перестает соответствовать физической реальности, так как она дала бы отрицательный объем пустоты ($V(120) = 200 - 2 \cdot 120 = -40$ л), что невозможно.

Ответ: Нет, нельзя, так как значение $t=120$ не входит в область определения функции, которая описывает данный физический процесс.

Можно ли найти значение $v(125)$. Обоснуйте ответ.

3.12. Для функции: 1) $f(x) = x^2 - 2x + 3$; 2) $f(x) = \frac{x-1}{x+4}$ найдите значения $f(-1)$, $f(0,1)$, $f(0,25)$, $f(1)$ и $f(2)$. Какова область определения функции?

1) Для функции $f(x) = x^2 - 2x + 3$

Чтобы найти значения функции, подставим соответствующие значения аргумента $x$ в формулу:

$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$

$f(0,1) = (0,1)^2 - 2(0,1) + 3 = 0,01 - 0,2 + 3 = 2,81$

$f(0,25) = (0,25)^2 - 2(0,25) + 3 = 0,0625 - 0,5 + 3 = 2,5625$

$f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

$f(2) = 2^2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$

Область определения функции:

Функция $f(x) = x^2 - 2x + 3$ является многочленом (квадратичной функцией). Выражение $x^2 - 2x + 3$ имеет смысл при любых действительных значениях $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $f(-1)=6$; $f(0,1)=2,81$; $f(0,25)=2,5625$; $f(1)=2$; $f(2)=3$. Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \frac{x-1}{x+4}$

Чтобы найти значения функции, подставим соответствующие значения аргумента $x$ в формулу:

$f(-1) = \frac{-1-1}{-1+4} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$

$f(0,1) = \frac{0,1-1}{0,1+4} = \frac{-0,9}{4,1} = -\frac{9}{41}$

$f(0,25) = \frac{0,25-1}{0,25+4} = \frac{-0,75}{4,25} = -\frac{75}{425} = -\frac{3 \cdot 25}{17 \cdot 25} = -\frac{3}{17}$

$f(1) = \frac{1-1}{1+4} = \frac{0}{5} = 0$

$f(2) = \frac{2-1}{2+4} = \frac{1}{6}$

Область определения функции:

Функция $f(x) = \frac{x-1}{x+4}$ является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$x+4 = 0$

$x = -4$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=-4$.

Ответ: $f(-1)=-\frac{2}{3}$; $f(0,1)=-\frac{9}{41}$; $f(0,25)=-\frac{3}{17}$; $f(1)=0$; $f(2)=\frac{1}{6}$. Область определения: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

3.13. Может ли значение функции:

1) $f(x) = 2x - 7, -1 \le x \le 1$;

2) $f(x) = 2x - 7, 0 \le x < 5$ равняться 1? Если значение функции равно 1, то найдите соответствующее значение аргумента.

Чтобы выяснить, может ли значение функции равняться 1, нужно решить уравнение $f(x) = 1$ и проверить, принадлежит ли найденное значение аргумента $x$ заданной области определения.

1) Для функции $f(x) = 2x - 7$ на отрезке $-1 \le x \le 1$.

Составим и решим уравнение:

$2x - 7 = 1$

$2x = 1 + 7$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Теперь проверим, принадлежит ли найденное значение $x=4$ отрезку $[-1; 1]$. Поскольку $4$ не принадлежит данному отрезку ($4 > 1$), значение функции не может равняться 1 на этом отрезке.

Ответ: нет, не может.

2) Для функции $f(x) = 2x - 7$ на отрезке $0 \le x \le 5$.

Решаем то же самое уравнение:

$2x - 7 = 1$

$2x = 8$

$x = 4$

Проверим, принадлежит ли найденное значение $x=4$ отрезку $[0; 5]$. Поскольку $0 \le 4 \le 5$, значение $x=4$ принадлежит данному отрезку. Следовательно, значение функции может равняться 1.

Ответ: да, может. Соответствующее значение аргумента равно 4.

3.14. При каком значении аргумента значение функции равно 4:

1) $f(x) = \frac{6}{x-2}$;

2) $f(x) = \frac{x+1}{x-3}$;

3) $f(x) = \frac{3}{x}+3$;

4) $f(x) = \frac{x}{x-2}+5$?

Чтобы найти, при каком значении аргумента $x$ значение функции $f(x)$ равно 4, необходимо для каждой функции решить уравнение $f(x) = 4$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{6}{x-2}$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{6}{x-2} = 4$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
Умножим обе части уравнения на $(x-2)$:
$6 = 4(x-2)$
$6 = 4x - 8$
$4x = 6 + 8$
$4x = 14$
$x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$
Значение $x = 3.5$ входит в ОДЗ.
Ответ: $3.5$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{x+1}{x-3}$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{x+1}{x-3} = 4$
ОДЗ: $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.
Умножим обе части уравнения на $(x-3)$:
$x+1 = 4(x-3)$
$x+1 = 4x - 12$
$12 + 1 = 4x - x$
$13 = 3x$
$x = \frac{13}{3}$
Значение $x = \frac{13}{3}$ входит в ОДЗ.
Ответ: $\frac{13}{3}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{3}{x} + 3$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{3}{x} + 3 = 4$
ОДЗ: $x \neq 0$.
Вычтем 3 из обеих частей уравнения:
$\frac{3}{x} = 4 - 3$
$\frac{3}{x} = 1$
Отсюда следует, что $x=3$.
Значение $x = 3$ входит в ОДЗ.
Ответ: $3$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x}{x-2} + 5$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{x}{x-2} + 5 = 4$
ОДЗ: $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
Вычтем 5 из обеих частей уравнения:
$\frac{x}{x-2} = 4 - 5$
$\frac{x}{x-2} = -1$
Умножим обе части уравнения на $(x-2)$:
$x = -1(x-2)$
$x = -x + 2$
$x + x = 2$
$2x = 2$
$x = 1$
Значение $x = 1$ входит в ОДЗ.
Ответ: $1$.

3.15. Для функции $f(x) = x^2 - 5$ сравните указанные значения функции:

1) $f\left(-\frac{1}{2}\right)$ и $f(0.5);

2) $f(0)$ и $f(-2);

3) $f(-2)$ и $f(1);

4) $f(-3)$ и $f(4).

Для решения задачи необходимо для каждой пары аргументов вычислить значение функции $f(x) = x^2 - 5$ и сравнить полученные результаты.

1) Сравним значения $f(-\frac{1}{2})$ и $f(0,5)$.
Вычислим значение функции для каждого аргумента:
$f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 - 5 = \frac{1}{4} - 5 = 0,25 - 5 = -4,75$.
$f(0,5) = (0,5)^2 - 5 = 0,25 - 5 = -4,75$.
Так как $-4,75 = -4,75$, то значения функции равны.
Ответ: $f(-\frac{1}{2}) = f(0,5)$.

2) Сравним значения $f(0)$ и $f(-2)$.
Вычислим значение функции для каждого аргумента:
$f(0) = 0^2 - 5 = 0 - 5 = -5$.
$f(-2) = (-2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$.
Сравниваем полученные результаты: $-5 < -1$.
Ответ: $f(0) < f(-2)$.

3) Сравним значения $f(-2)$ и $f(1)$.
Вычислим значение функции для каждого аргумента:
$f(-2) = (-2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$.
$f(1) = 1^2 - 5 = 1 - 5 = -4$.
Сравниваем полученные результаты: $-1 > -4$.
Ответ: $f(-2) > f(1)$.

4) Сравним значения $f(-3)$ и $f(4)$.
Вычислим значение функции для каждого аргумента:
$f(-3) = (-3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4$.
$f(4) = 4^2 - 5 = 16 - 5 = 11$.
Сравниваем полученные результаты: $4 < 11$.
Ответ: $f(-3) < f(4)$.

3.16. Найдите область определения функции и запишите ее в виде числового промежутка:

1) $f(x) = \frac{x+1}{x-5}$;

2) $f(x) = \frac{2x}{x+1}-3$;

3) $f(x) = \frac{3x+4}{2x-3}$;

4) $f(x) = \frac{1-x}{x^2+1}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{x+1}{x-5}$ — это множество всех действительных чисел, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x - 5 = 0$

$x = 5$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=5$. В виде числового промежутка это записывается как объединение двух интервалов.

Ответ: $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$

2) Функция $f(x) = \frac{2x}{x+1} - 3$ состоит из дробного и целого выражений. Область определения определяется условием, при котором знаменатель дроби не равен нулю.

$x + 1 \neq 0$

$x \neq -1$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, за исключением $x=-1$. Запишем это в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$

3) Для функции $f(x) = \frac{3x+4}{2x-3}$ область определения — это все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.

$2x - 3 \neq 0$

$2x \neq 3$

$x \neq \frac{3}{2}$

Значит, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{3}{2}$. Запишем это в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$

4) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1-x}{x^2+1}$. Ее область определения зависит от знаменателя. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю.

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($x^2 \ge 0$). Следовательно, знаменатель $x^2+1$ никогда не равен нулю (он всегда больше или равен 1). Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

3.17. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3}$

2) $f(x) = \frac{2x+1}{(x-1)\cdot(x+4)}$

1) Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $f(x) = \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3}$ представляет собой сумму двух дробей. Выражение, содержащее дробь, имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Поэтому необходимо найти значения $x$, при которых знаменатели обеих дробей не обращаются в ноль.

Для первого слагаемого $\frac{1}{x-3}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

Для второго слагаемого $\frac{2}{x+3}$ знаменатель также не должен быть равен нулю:

$x + 3 \neq 0$

$x \neq -3$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 3$ и $x = -3$. Область определения функции, обозначаемая $D(f)$, можно записать в виде объединения интервалов.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = \frac{2x+1}{(x-1)(x+4)}$ является дробно-рациональной. Такая функция определена для всех значений аргумента $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $(x-1)(x+4)$ обращается в ноль. Для этого решим уравнение:

$(x-1)(x+4) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

или

$x + 4 = 0 \implies x = -4$

Значит, при $x=1$ и $x=-4$ знаменатель дроби обращается в ноль, и функция в этих точках не определена. Область определения функции состоит из всех действительных чисел, за исключением -4 и 1.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 1) \cup (1; +\infty)$.

3.18. Если известно, что аргумент функции $y = f(x)$ может принимать значения не менее, чем -2, и не более, чем 7, то найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$

2) $f(x) = \frac{2x+1}{x-4}$

По условию задачи, аргумент функции $y = f(x)$ может принимать значения не менее, чем $-2$, и не более, чем $7$. Это означает, что область определения функции $f$ есть отрезок $D(f) = [-2; 7]$.

В каждом пункте задана сложная функция, где в качестве аргумента для $f$ выступает выражение, зависящее от $x$. Чтобы найти область определения этих сложных функций, необходимо найти все значения $x$, при которых значение их аргумента попадает в область определения функции $f$, то есть в отрезок $[-2; 7]$.

1) $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$

В данном случае аргументом функции $f$ является выражение $\frac{x-1}{x+1}$. Следовательно, для нахождения области определения искомой функции нужно решить двойное неравенство:

$-2 \le \frac{x-1}{x+1} \le 7$

Это неравенство равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{x-1}{x+1} \ge -2 \\ \frac{x-1}{x+1} \le 7 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{x-1}{x+1} + 2 \ge 0 \implies \frac{x-1+2(x+1)}{x+1} \ge 0 \implies \frac{3x+1}{x+1} \ge 0$.

Используя метод интервалов, находим нули числителя ($x=-1/3$) и знаменателя ($x=-1$). Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Проверяя знак выражения на каждом интервале, получаем решение: $x \in (-\infty; -1) \cup [-1/3; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{x-1}{x+1} - 7 \le 0 \implies \frac{x-1-7(x+1)}{x+1} \le 0 \implies \frac{-6x-8}{x+1} \le 0$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{6x+8}{x+1} \ge 0$.

Нули числителя ($x=-4/3$) и знаменателя ($x=-1$). Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty; -4/3] \cup (-1; +\infty)$.

Область определения функции — это пересечение решений двух неравенств. Найдем пересечение множеств $(-\infty; -1) \cup [-1/3; +\infty)$ и $(-\infty; -4/3] \cup (-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4/3] \cup [-1/3; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{2x+1}{x-4}$

Аргументом функции $f$ является выражение $\frac{2x+1}{x-4}$. Для нахождения области определения нужно решить двойное неравенство:

$-2 \le \frac{2x+1}{x-4} \le 7$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{2x+1}{x-4} \ge -2 \\ \frac{2x+1}{x-4} \le 7 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{2x+1}{x-4} + 2 \ge 0 \implies \frac{2x+1+2(x-4)}{x-4} \ge 0 \implies \frac{4x-7}{x-4} \ge 0$.

Нули числителя ($x=7/4$) и знаменателя ($x=4$). Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty; 7/4] \cup (4; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2x+1}{x-4} - 7 \le 0 \implies \frac{2x+1-7(x-4)}{x-4} \le 0 \implies \frac{-5x+29}{x-4} \le 0$.

Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства: $\frac{5x-29}{x-4} \ge 0$.

Нули числителя ($x=29/5$) и знаменателя ($x=4$). Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty; 4) \cup [29/5; +\infty)$.

Область определения функции — это пересечение решений двух неравенств. Найдем пересечение множеств $(-\infty; 7/4] \cup (4; +\infty)$ и $(-\infty; 4) \cup [29/5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 7/4] \cup [29/5; +\infty)$.