Номер 3.16, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.16. Найдите область определения функции и запишите ее в виде числового промежутка:

1) $f(x) = \frac{x+1}{x-5}$;

2) $f(x) = \frac{2x}{x+1}-3$;

3) $f(x) = \frac{3x+4}{2x-3}$;

4) $f(x) = \frac{1-x}{x^2+1}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{x+1}{x-5}$ — это множество всех действительных чисел, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x - 5 = 0$

$x = 5$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=5$. В виде числового промежутка это записывается как объединение двух интервалов.

Ответ: $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$

2) Функция $f(x) = \frac{2x}{x+1} - 3$ состоит из дробного и целого выражений. Область определения определяется условием, при котором знаменатель дроби не равен нулю.

$x + 1 \neq 0$

$x \neq -1$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, за исключением $x=-1$. Запишем это в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$

3) Для функции $f(x) = \frac{3x+4}{2x-3}$ область определения — это все значения $x$, для которых знаменатель не равен нулю.

$2x - 3 \neq 0$

$2x \neq 3$

$x \neq \frac{3}{2}$

Значит, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \frac{3}{2}$. Запишем это в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$

4) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1-x}{x^2+1}$. Ее область определения зависит от знаменателя. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю.

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($x^2 \ge 0$). Следовательно, знаменатель $x^2+1$ никогда не равен нулю (он всегда больше или равен 1). Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$