Номер 3.23, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.23. Разложите многочлен на множители:

1) $a^2c + b^2c - a^2d - b^2d + d - c;$

2) $x^2 + 7x + 10;$

1) Для разложения многочлена $a^2c + b^2c - a^2d - b^2d + d - c$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменные $c$ и $d$ соответственно.
$a^2c + b^2c - a^2d - b^2d + d - c = (a^2c + b^2c - c) + (-a^2d - b^2d + d)$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе вынесем $c$, во второй — $-d$.
$c(a^2 + b^2 - 1) - d(a^2 + b^2 - 1)$
Теперь мы видим общий множитель $(a^2 + b^2 - 1)$, который также можно вынести за скобки.
$(a^2 + b^2 - 1)(c - d)$
Проверим другим способом группировки, сгруппировав слагаемые с $a^2$ и $b^2$.
$(a^2c - a^2d) + (b^2c - b^2d) + (d - c) = a^2(c-d) + b^2(c-d) - (c-d)$
Вынесем общий множитель $(c-d)$ за скобки:
$(c - d)(a^2 + b^2 - 1)$
Оба способа приводят к одинаковому результату.
Ответ: $(a^2 + b^2 - 1)(c - d)$

2) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + 7x + 10$, нужно найти два числа, произведение которых равно свободному члену (10), а сумма — коэффициенту при $x$ (7).
Подберем такие числа. Пары чисел, дающие в произведении 10: (1, 10), (2, 5), (-1, -10), (-2, -5).
Найдем их суммы:
$1 + 10 = 11$
$2 + 5 = 7$
$-1 + (-10) = -11$
$-2 + (-5) = -7$
Подходящая пара чисел — это 2 и 5, так как их сумма равна 7.
Теперь можно представить трехчлен в виде произведения двух двучленов:
$x^2 + 7x + 10 = (x+2)(x+5)$
Другой способ — представить средний член $7x$ в виде суммы $2x + 5x$ и выполнить группировку:
$x^2 + 7x + 10 = x^2 + 2x + 5x + 10 = (x^2 + 2x) + (5x + 10) = x(x+2) + 5(x+2) = (x+2)(x+5)$
Ответ: $(x+2)(x+5)$