Номер 3.17, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3}$

2) $f(x) = \frac{2x+1}{(x-1)\cdot(x+4)}$

1) Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $f(x) = \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3}$ представляет собой сумму двух дробей. Выражение, содержащее дробь, имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Поэтому необходимо найти значения $x$, при которых знаменатели обеих дробей не обращаются в ноль.

Для первого слагаемого $\frac{1}{x-3}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

Для второго слагаемого $\frac{2}{x+3}$ знаменатель также не должен быть равен нулю:

$x + 3 \neq 0$

$x \neq -3$

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 3$ и $x = -3$. Область определения функции, обозначаемая $D(f)$, можно записать в виде объединения интервалов.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = \frac{2x+1}{(x-1)(x+4)}$ является дробно-рациональной. Такая функция определена для всех значений аргумента $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель $(x-1)(x+4)$ обращается в ноль. Для этого решим уравнение:

$(x-1)(x+4) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

или

$x + 4 = 0 \implies x = -4$

Значит, при $x=1$ и $x=-4$ знаменатель дроби обращается в ноль, и функция в этих точках не определена. Область определения функции состоит из всех действительных чисел, за исключением -4 и 1.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 1) \cup (1; +\infty)$.