Номер 3.22, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. Какой цифрой может оканчиваться 5-я степень натурального числа? Обоснуйте ответ.

Чтобы определить, какой цифрой может оканчиваться 5-я степень натурального числа, необходимо проанализировать, на какую цифру оканчивается результат возведения в пятую степень чисел, оканчивающихся на каждую из цифр от 0 до 9. Это связано с тем, что последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры самого числа.

Проверим все возможные последние цифры натурального числа $n$:

• Если $n$ оканчивается на 0, то $n^5$ оканчивается на 0 (например, $10^5 = 100000$).
• Если $n$ оканчивается на 1, то $n^5$ оканчивается на 1 (например, $1^5 = 1$).
• Если $n$ оканчивается на 2, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $2^5 = 32$, то есть 2.
• Если $n$ оканчивается на 3, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $3^5 = 243$, то есть 3.
• Если $n$ оканчивается на 4, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $4^5 = 1024$, то есть 4.
• Если $n$ оканчивается на 5, то $n^5$ оканчивается на 5 (например, $5^5 = 3125$).
• Если $n$ оканчивается на 6, то $n^5$ оканчивается на 6 (например, $6^5 = 7776$).
• Если $n$ оканчивается на 7, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $7^5 = 16807$, то есть 7.
• Если $n$ оканчивается на 8, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $8^5 = 32768$, то есть 8.
• Если $n$ оканчивается на 9, то последняя цифра $n^5$ совпадает с последней цифрой $9^5 = 59049$, то есть 9.

Из этого перебора видно, что 5-я степень натурального числа всегда оканчивается на ту же цифру, что и само число.

Обоснование:Это наблюдение можно доказать строго, используя теорию сравнений. Задача сводится к доказательству того, что для любого натурального числа $n$ выполняется сравнение $n^5 \equiv n \pmod{10}$.

По свойствам сравнений (в частности, с использованием Китайской теоремы об остатках), это утверждение эквивалентно системе из двух сравнений, поскольку $10 = 2 \cdot 5$, а 2 и 5 — взаимно простые числа:

1. $n^5 \equiv n \pmod{2}$
2. $n^5 \equiv n \pmod{5}$

Докажем каждое из них.

1. Доказательство $n^5 \equiv n \pmod{2}$.
Можно рассмотреть два случая:
- Если $n$ — чётное число, то $n \equiv 0 \pmod{2}$. Тогда $n^5$ также будет чётным, и $n^5 \equiv 0 \pmod{2}$. Следовательно, $n^5 \equiv n \pmod{2}$.
- Если $n$ — нечётное число, то $n \equiv 1 \pmod{2}$. Тогда $n^5$ также будет нечётным, и $n^5 \equiv 1 \pmod{2}$. Следовательно, $n^5 \equiv n \pmod{2}$.
Таким образом, сравнение верно для любого натурального $n$.

2. Доказательство $n^5 \equiv n \pmod{5}$.
Это сравнение является прямым следствием Малой теоремы Ферма, которая гласит, что для любого целого числа $a$ и простого числа $p$ выполняется $a^p \equiv a \pmod{p}$.
В нашем случае $p=5$ (простое число), поэтому для любого натурального $n$ верно, что $n^5 \equiv n \pmod{5}$.

Поскольку оба сравнения в системе верны для любого натурального $n$, то и исходное сравнение $n^5 \equiv n \pmod{10}$ также верно. Это означает, что последняя цифра числа $n^5$ совпадает с последней цифрой числа $n$.

Так как натуральное число может оканчиваться на любую из десяти цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), то и его 5-я степень может оканчиваться на любую из этих цифр.

Ответ: 5-я степень натурального числа может оканчиваться любой цифрой от 0 до 9.