Номер 3.18, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.18. Если известно, что аргумент функции $y = f(x)$ может принимать значения не менее, чем -2, и не более, чем 7, то найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$

2) $f(x) = \frac{2x+1}{x-4}$

По условию задачи, аргумент функции $y = f(x)$ может принимать значения не менее, чем $-2$, и не более, чем $7$. Это означает, что область определения функции $f$ есть отрезок $D(f) = [-2; 7]$.

В каждом пункте задана сложная функция, где в качестве аргумента для $f$ выступает выражение, зависящее от $x$. Чтобы найти область определения этих сложных функций, необходимо найти все значения $x$, при которых значение их аргумента попадает в область определения функции $f$, то есть в отрезок $[-2; 7]$.

1) $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$

В данном случае аргументом функции $f$ является выражение $\frac{x-1}{x+1}$. Следовательно, для нахождения области определения искомой функции нужно решить двойное неравенство:

$-2 \le \frac{x-1}{x+1} \le 7$

Это неравенство равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{x-1}{x+1} \ge -2 \\ \frac{x-1}{x+1} \le 7 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{x-1}{x+1} + 2 \ge 0 \implies \frac{x-1+2(x+1)}{x+1} \ge 0 \implies \frac{3x+1}{x+1} \ge 0$.

Используя метод интервалов, находим нули числителя ($x=-1/3$) и знаменателя ($x=-1$). Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Проверяя знак выражения на каждом интервале, получаем решение: $x \in (-\infty; -1) \cup [-1/3; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{x-1}{x+1} - 7 \le 0 \implies \frac{x-1-7(x+1)}{x+1} \le 0 \implies \frac{-6x-8}{x+1} \le 0$.

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{6x+8}{x+1} \ge 0$.

Нули числителя ($x=-4/3$) и знаменателя ($x=-1$). Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty; -4/3] \cup (-1; +\infty)$.

Область определения функции — это пересечение решений двух неравенств. Найдем пересечение множеств $(-\infty; -1) \cup [-1/3; +\infty)$ и $(-\infty; -4/3] \cup (-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4/3] \cup [-1/3; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{2x+1}{x-4}$

Аргументом функции $f$ является выражение $\frac{2x+1}{x-4}$. Для нахождения области определения нужно решить двойное неравенство:

$-2 \le \frac{2x+1}{x-4} \le 7$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{2x+1}{x-4} \ge -2 \\ \frac{2x+1}{x-4} \le 7 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{2x+1}{x-4} + 2 \ge 0 \implies \frac{2x+1+2(x-4)}{x-4} \ge 0 \implies \frac{4x-7}{x-4} \ge 0$.

Нули числителя ($x=7/4$) и знаменателя ($x=4$). Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty; 7/4] \cup (4; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2x+1}{x-4} - 7 \le 0 \implies \frac{2x+1-7(x-4)}{x-4} \le 0 \implies \frac{-5x+29}{x-4} \le 0$.

Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства: $\frac{5x-29}{x-4} \ge 0$.

Нули числителя ($x=29/5$) и знаменателя ($x=4$). Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty; 4) \cup [29/5; +\infty)$.

Область определения функции — это пересечение решений двух неравенств. Найдем пересечение множеств $(-\infty; 7/4] \cup (4; +\infty)$ и $(-\infty; 4) \cup [29/5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 7/4] \cup [29/5; +\infty)$.