Номер 3.20, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.20*. Дана функция $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

1) Найдите область определения функции.

2) Найдите значения $f(-10)$, $f(-3)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$, $f(10)$ и сравните их.

3) Найдите наибольшее значение функции.

4) Может ли значение функции быть равным 0 или отрицательному числу? Обоснуйте ответ.

5) Запишите область значений функции в виде числового промежутка.

1) Найдите область определения функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ представляет собой дробь. Дробь определена, когда её знаменатель не равен нулю. Найдём значения $x$, при которых знаменатель $1+x^2$ обращается в ноль.

Решим уравнение: $1+x^2 = 0$.

$x^2 = -1$.

Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $1+x^2$ всегда больше или равно 1 ($1+x^2 \ge 1$), и никогда не равно нулю. Таким образом, функция определена для любых действительных значений $x$.

Ответ: Область определения функции — все действительные числа, или $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) Найдите значения f(-10), f(-3), f(-1), f(0), f(1), f(3), f(10) и сравните их.

Вычислим значения функции для заданных аргументов, подставляя их в формулу $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

$f(-10) = \frac{1}{1+(-10)^2} = \frac{1}{1+100} = \frac{1}{101}$

$f(-3) = \frac{1}{1+(-3)^2} = \frac{1}{1+9} = \frac{1}{10}$

$f(-1) = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

$f(0) = \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1} = 1$

$f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

$f(3) = \frac{1}{1+3^2} = \frac{1}{1+9} = \frac{1}{10}$

$f(10) = \frac{1}{1+10^2} = \frac{1}{1+100} = \frac{1}{101}$

Теперь сравним полученные значения. Заметим, что функция является чётной, так как $f(-x) = f(x)$. Поэтому $f(-10)=f(10)$, $f(-3)=f(3)$, $f(-1)=f(1)$.

Расположим значения в порядке возрастания:

$\frac{1}{101} < \frac{1}{10} < \frac{1}{2} < 1$

Следовательно, $f(-10) = f(10) < f(-3) = f(3) < f(-1) = f(1) < f(0)$.

Ответ: $f(-10) = \frac{1}{101}$, $f(-3) = \frac{1}{10}$, $f(-1) = \frac{1}{2}$, $f(0) = 1$, $f(1) = \frac{1}{2}$, $f(3) = \frac{1}{10}$, $f(10) = \frac{1}{101}$. Сравнение: $f(-10) = f(10) < f(-3) = f(3) < f(-1) = f(1) < f(0)$.

3) Найдите наибольшее значение функции.

Функция $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ представляет собой дробь с постоянным положительным числителем (1). Значение такой дроби будет наибольшим, когда её знаменатель будет наименьшим.

Рассмотрим знаменатель $g(x) = 1+x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, наименьшее значение $x^2$ равно 0 и достигается при $x=0$.

Следовательно, наименьшее значение знаменателя равно $1+0=1$.

Таким образом, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается при $x=0$ и равно $f(0) = \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 1.

4) Может ли значение функции быть равным 0 или отрицательному числу? Обоснуйте ответ.

Проверим, может ли значение функции быть равным 0. Уравнение $f(x)=0$ равносильно $\frac{1}{1+x^2} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 1, что не равно 0, поэтому функция никогда не может быть равной нулю.

Проверим, может ли значение функции быть отрицательным. Значение функции $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ определяется знаком числителя и знаменателя. Числитель равен 1, что является положительным числом. Знаменатель $1+x^2$, как было показано ранее, всегда больше или равен 1 ($1+x^2 \ge 1$), то есть также является положительным числом для любого $x$.

Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, $f(x) > 0$ для всех $x$ из области определения.

Ответ: Нет, не может. Значение функции не может быть равно 0, так как ее числитель не равен 0. Значение функции не может быть отрицательным, так как и числитель (1), и знаменатель ($1+x^2$) всегда положительны.

5) Запишите область значений функции в виде числового промежутка.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $f(x)$.

Из пункта 3 мы знаем, что наибольшее значение функции равно 1, и оно достигается при $x=0$. То есть $f(x) \le 1$.

Из пункта 4 мы знаем, что функция всегда принимает только положительные значения, то есть $f(x) > 0$.

Объединяя эти два условия, получаем, что $0 < f(x) \le 1$.

Также можно рассмотреть поведение функции, когда $|x|$ неограниченно возрастает ($x \to \pm\infty$). В этом случае $x^2 \to +\infty$, знаменатель $1+x^2 \to +\infty$, а значение дроби $\frac{1}{1+x^2}$ стремится к 0, но никогда его не достигает.

Таким образом, функция принимает все значения от 0 (не включая) до 1 (включая).

Ответ: Область значений функции $E(f) = (0; 1]$.