Номер 3.19, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.19*. Дана функция $y = \frac{2}{x-3} + 4$.

1) Найдите область определения функции;

2) в заданной функциональной зависимости выразите переменную $x$ через $y$;

3) в полученном выражении найдите все возможные значения переменной $y$. Можно ли найденное множество возможных значений $y$ принимать как множество значений исходной функции? Обоснуйте ответ.

1) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Данная функция $y = \frac{2}{x-3} + 4$ содержит дробь в знаменателе которой находится переменная. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Следовательно, должно выполняться условие $x - 3 \neq 0$. Решая это неравенство, получаем $x \neq 3$. Таким образом, областью определения функции являются все действительные числа, кроме $3$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Чтобы выразить переменную $x$ через $y$ из заданной функциональной зависимости $y = \frac{2}{x-3} + 4$, выполним следующие алгебраические преобразования.

Перенесем $4$ в левую часть уравнения:
$y - 4 = \frac{2}{x-3}$

Теперь поменяем местами левую часть и знаменатель правой части (это равносильно умножению обеих частей на $x-3$ и делению на $y-4$):
$x - 3 = \frac{2}{y - 4}$

Наконец, перенесем $-3$ в правую часть, чтобы выразить $x$:
$x = \frac{2}{y - 4} + 3$

Ответ: $x = \frac{2}{y - 4} + 3$.

3) Рассмотрим полученное в пункте 2 выражение $x = \frac{2}{y - 4} + 3$. Это выражение имеет смысл для всех значений $y$, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Таким образом, должно выполняться условие $y - 4 \neq 0$, что означает $y \neq 4$. Следовательно, множество всех возможных значений переменной $y$ — это все действительные числа, кроме $4$.

Да, найденное множество возможных значений $y$ можно и нужно принимать как множество значений (или область значений, $E(y)$) исходной функции.

Обоснование:

Множество значений функции $y=f(x)$ — это совокупность всех значений, которые принимает переменная $y$, когда $x$ пробегает всю свою область определения. Выражение $x = g(y) = \frac{2}{y - 4} + 3$ является обратной функцией к исходной функции $y=f(x)$. По определению, область значений прямой функции совпадает с областью определения обратной ей функции. Мы нашли, что область определения функции $x = g(y)$ есть множество $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. Следовательно, это и есть множество значений исходной функции.

Другой способ обоснования — анализ структуры исходной функции $y = \frac{2}{x-3} + 4$. Дробь $\frac{2}{x-3}$ может принимать любое действительное значение, кроме нуля (поскольку ее числитель $2 \neq 0$). Тогда вся сумма $\frac{2}{x-3} + 4$ может принимать любое значение, кроме $0+4=4$. Таким образом, $y \neq 4$, что подтверждает найденное множество значений.

Ответ: Множество всех возможных значений $y$ есть $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. Да, это множество является множеством значений исходной функции. Обоснование заключается в том, что область значений функции совпадает с областью определения обратной к ней функции.